Номер 19.15, страница 153 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

19.15. Используя свойства показательной функции определите: верны ли следующие утверждения и обоснуйте свой ответ:

1) неравенства $a^x > a^3$ и $x > 3$ равносильны;

2) из неравенства $7^{x^2} > 7^x$ следует равносильное неравенство $x^2 < x$;

3) неравенства $(\frac{1}{9})^x > (\frac{1}{3})^{x-1}$ и $2x < x - 1$ равносильны.

1) Утверждение, что неравенства $a^x > a^3$ и $x > 3$ равносильны, не является верным в общем случае. Равносильность этих неравенств зависит от значения основания $a$.

Свойство показательной функции $y=a^x$ гласит:

• Если основание $a > 1$, то функция является строго возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Следовательно, неравенство $a^x > a^3$ равносильно неравенству $x > 3$.

• Если основание $0 < a < 1$, то функция является строго убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Следовательно, неравенство $a^x > a^3$ равносильно неравенству $x < 3$. В этом случае исходные неравенства не равносильны.

Поскольку утверждение неверно для случая $0 < a < 1$, оно неверно в общем виде. Например, если взять $a=\frac{1}{2}$, то неравенство $(\frac{1}{2})^x > (\frac{1}{2})^3$ будет равносильно $x < 3$, что противоречит неравенству $x > 3$.

Ответ: Утверждение неверно.

2) Рассмотрим утверждение, что из неравенства $7^{x^2} > 7^x$ следует равносильное неравенство $x^2 < x$.

В показательном неравенстве $7^{x^2} > 7^x$ основание $a=7$.

Так как основание $a = 7 > 1$, показательная функция $y=7^u$ является строго возрастающей. Это означает, что при переходе от неравенства для степеней к неравенству для их показателей знак неравенства сохраняется. Таким образом, неравенство $7^{x^2} > 7^x$ равносильно неравенству $x^2 > x$.

Утверждение же гласит, что исходное неравенство равносильно $x^2 < x$. Неравенства $x^2 > x$ и $x^2 < x$ имеют разные множества решений, а значит, не являются равносильными. Например, при $x=3$ неравенство $x^2 > x$ верно ($9>3$), а неравенство $x^2 < x$ неверно ($9<3$).

Ответ: Утверждение неверно.

3) Рассмотрим утверждение, что неравенства $(\frac{1}{9})^x > (\frac{1}{3})^{x-1}$ и $2x < x - 1$ равносильны.

Для решения первого неравенства приведем обе его части к одному основанию. Мы знаем, что $\frac{1}{9} = (\frac{1}{3})^2$.

Подставим это в неравенство:

$((\frac{1}{3})^2)^x > (\frac{1}{3})^{x-1}$

По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$ получаем:

$(\frac{1}{3})^{2x} > (\frac{1}{3})^{x-1}$

Основание степени в этом неравенстве $a = \frac{1}{3}$. Так как $0 < a < 1$, показательная функция $y=(\frac{1}{3})^u$ является строго убывающей. Это означает, что при переходе от неравенства для степеней к неравенству для их показателей знак неравенства должен быть изменен на противоположный.

Следовательно, неравенство $(\frac{1}{3})^{2x} > (\frac{1}{3})^{x-1}$ равносильно неравенству $2x < x-1$.

Таким образом, мы показали, что первое неравенство в результате преобразований, основанных на свойствах показательной функции, превращается во второе. Это означает, что они имеют одинаковые множества решений, то есть являются равносильными.

Ответ: Утверждение верно.