Номер 19.11, страница 152 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

19.11. Какую числовую последовательность образуют значения показательной функции $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$, соответствующие значениям аргумента $x$: 1; 2; 3; 4; ...?

Чтобы определить, какую числовую последовательность образуют значения показательной функции $y = (\frac{1}{3})^x$ при натуральных значениях аргумента $x = 1, 2, 3, 4, \dots$, необходимо последовательно подставить эти значения $x$ в функцию и вычислить соответствующие значения $y$.

Обозначим члены искомой последовательности как $b_n$, где $n$ — это номер члена последовательности, который соответствует натуральному значению аргумента $x=n$.

Вычислим первые несколько членов последовательности:

При $x = 1$, первый член последовательности $b_1 = y(1) = (\frac{1}{3})^1 = \frac{1}{3}$.

При $x = 2$, второй член последовательности $b_2 = y(2) = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$.

При $x = 3$, третий член последовательности $b_3 = y(3) = (\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}$.

При $x = 4$, четвертый член последовательности $b_4 = y(4) = (\frac{1}{3})^4 = \frac{1}{81}$.

Таким образом, мы получаем числовую последовательность: $\frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \frac{1}{27}, \frac{1}{81}, \dots$

Теперь определим тип этой последовательности. Проверим, является ли она геометрической прогрессией. Геометрическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное число, называемое знаменателем прогрессии ($q$).

Найдем отношение каждого последующего члена к предыдущему:

$\frac{b_2}{b_1} = \frac{1/9}{1/3} = \frac{1}{9} \cdot \frac{3}{1} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

$\frac{b_3}{b_2} = \frac{1/27}{1/9} = \frac{1}{27} \cdot \frac{9}{1} = \frac{9}{27} = \frac{1}{3}$

$\frac{b_4}{b_3} = \frac{1/81}{1/27} = \frac{1}{81} \cdot \frac{27}{1} = \frac{27}{81} = \frac{1}{3}$

Так как отношение между любыми двумя последовательными членами постоянно и равно $\frac{1}{3}$, данная последовательность является геометрической прогрессией. Первый член этой прогрессии $b_1 = \frac{1}{3}$, а знаменатель $q = \frac{1}{3}$.

Поскольку знаменатель прогрессии $|q| = |\frac{1}{3}| < 1$, эта прогрессия является бесконечно убывающей.

Ответ: Значения функции образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом $b_1 = \frac{1}{3}$ и знаменателем $q = \frac{1}{3}$.