Номер 19.6, страница 152 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

19.6. 1) Какая из двух показательных функций возрастает быстрее при возрастании значений аргумента: $y = 2^x$ или $y = (\sqrt{2})^x$.

2) Какая из двух показательных функций убывает быстрее при возрастании значений аргумента: $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ или $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$?

1) Для анализа скорости роста показательных функций вида $y = a^x$, где основание $a > 1$, необходимо сравнить их основания. Функция, у которой основание больше, возрастает быстрее. Рассмотрим две заданные функции: $y_1 = 2^x$ и $y_2 = (\sqrt{2})^x$. Основание первой функции $a_1 = 2$. Основание второй функции $a_2 = \sqrt{2}$. Сравним основания. Так как $2 > 1$ и $\sqrt{2} \approx 1.414 > 1$, обе функции являются возрастающими. Чтобы сравнить $2$ и $\sqrt{2}$, можно возвести оба числа в квадрат: $2^2 = 4$ и $(\sqrt{2})^2 = 2$. Поскольку $4 > 2$, то и $2 > \sqrt{2}$. Так как основание функции $y = 2^x$ больше основания функции $y = (\sqrt{2})^x$, то функция $y = 2^x$ возрастает быстрее. Это можно проверить на примерах. При $x=4$: $y_1 = 2^4 = 16$ $y_2 = (\sqrt{2})^4 = (2^{1/2})^4 = 2^2 = 4$ При увеличении $x$ разница в значениях будет только расти.

Ответ: Функция $y = 2^x$ возрастает быстрее.

2) Для анализа скорости убывания показательных функций вида $y = a^x$, где основание $0 < a < 1$, необходимо сравнить их основания. Функция, у которой основание меньше, убывает быстрее (т.е. ее значения быстрее приближаются к нулю с ростом $x$). Рассмотрим две заданные функции: $y_1 = (\frac{1}{2})^x$ и $y_2 = (\frac{1}{3})^x$. Основание первой функции $a_1 = \frac{1}{2} = 0.5$. Основание второй функции $a_2 = \frac{1}{3}$. Так как $0 < \frac{1}{2} < 1$ и $0 < \frac{1}{3} < 1$, обе функции являются убывающими. Сравним основания: $\frac{1}{3} < \frac{1}{2}$, поскольку $3 > 2$. Так как основание функции $y = (\frac{1}{3})^x$ меньше основания функции $y = (\frac{1}{2})^x$, то функция $y = (\frac{1}{3})^x$ убывает быстрее. Это можно проверить на примерах. При $x=2$: $y_1 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$ $y_2 = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$ Поскольку $\frac{1}{9} < \frac{1}{4}$, значение второй функции меньше, что подтверждает более быстрое убывание.

Ответ: Функция $y = (\frac{1}{3})^x$ убывает быстрее.