Номер 19.2, страница 151 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

19.2. Найдите область определения функции $y = f(x)$:

1) $f(x)=4^{\frac{1}{x}}$;

2) $f(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{x^2}}$;

3) $f(x)=\frac{1}{7^x}$;

4) $f(x)=0.35^x$.

1) Область определения функции $f(x) = 4^{\frac{1}{x}}$ находится из условия, что показатель степени должен быть определен. Выражение в показателе степени $\frac{1}{x}$ представляет собой дробь, которая определена для всех значений $x$, при которых ее знаменатель не равен нулю. Таким образом, необходимо выполнение условия $x \neq 0$. Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме 0.

Ответ: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2) Для функции $f(x) = (\frac{1}{3})^{\frac{1}{x^2}}$ область определения также зависит от показателя степени $\frac{1}{x^2}$. Это выражение определено, когда его знаменатель $x^2$ не равен нулю. Уравнение $x^2 = 0$ имеет единственный корень $x=0$. Следовательно, $x \neq 0$. Область определения функции — это все действительные числа, кроме 0.

Ответ: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

3) Функция $f(x) = \frac{1}{7^x}$ является дробью. Она определена для всех значений $x$, при которых знаменатель $7^x$ не равен нулю. Показательная функция $y=a^x$ при $a>0$ и $a \neq 1$ принимает только положительные значения, то есть $7^x > 0$ для любого действительного числа $x$. Таким образом, знаменатель никогда не равен нулю. Следовательно, область определения функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

4) Функция $f(x) = 0.35^x$ является показательной функцией с основанием $a = 0.35$. Так как основание $a=0.35$ удовлетворяет условиям $a > 0$ и $a \neq 1$, данная функция определена для любого действительного значения $x$. Следовательно, область определения функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.