Номер 14, страница 147 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

14. Количество четырехзначных чисел, в записи которых две цифры 2 и по одной цифре 0 и 5, равно:

A) 7; B) 8; C) 9; D) 10; E) 12.

Для решения этой задачи необходимо найти количество четырехзначных чисел, которые можно составить из набора цифр {2, 2, 0, 5}. Основное ограничение заключается в том, что четырехзначное число не может начинаться с цифры 0.

Данную задачу можно решить методом комбинаторики, используя перестановки с повторениями.

Сначала найдем общее количество всех возможных перестановок из четырех цифр {2, 2, 0, 5}, временно игнорируя ограничение на первую цифру. У нас есть 4 позиции и 4 цифры, среди которых цифра '2' повторяется дважды. Общее число перестановок с повторениями вычисляется по формуле $P = \frac{n!}{k_1!k_2!...}$, где $n$ — общее количество элементов, а $k_i$ — количество повторений каждого элемента.

В нашем случае $n=4$ (всего четыре цифры), и есть одна повторяющаяся цифра '2' ($k_1=2$).Общее число перестановок равно:$P_{общ} = \frac{4!}{2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{24}{2} = 12$.

Теперь из этого общего числа нужно вычесть те комбинации, которые начинаются с 0, так как они не являются четырехзначными числами (например, 0522 — это трехзначное число 522).Найдем количество таких "неправильных" перестановок. Если на первом месте стоит 0, то на оставшихся трех позициях нужно расположить оставшиеся цифры {2, 2, 5}. Количество способов сделать это — это число перестановок с повторениями для трех элементов:$P_{неправ} = \frac{3!}{2!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1} = 3$.Таких чисел три: 0225, 0252 и 0522.

Чтобы получить итоговое количество четырехзначных чисел, вычтем количество "неправильных" перестановок из общего количества перестановок:Искомое количество = $P_{общ} - P_{неправ} = 12 - 3 = 9$.

Ответ: 9.