Номер 8, страница 146 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

8. Область внутренности круга, изображенного на рисунке, задается неравенством:

A) $ |z + 2i| < 1; $

B) $ |z - 2i| < 1; $

C) $ |z - i| < 2; $

D) $ |z + i| < 2; $

E) $ |2z - 2i| < 1. $

Область внутренности круга (открытый диск) на комплексной плоскости задается неравенством вида $|z - z_0| < r$, где $z$ — произвольная точка внутри круга, $z_0$ — комплексное число, соответствующее центру круга, а $r$ — его радиус.

Для решения задачи необходимо определить центр $z_0$ и радиус $r$ круга, изображенного на рисунке.

1. Определение центра круга ($z_0$). Центр круга расположен на мнимой оси (оси $y$) в точке, где $y=2$. Действительная часть (координата по оси $x$) равна $0$. Таким образом, центр круга соответствует комплексному числу $z_0 = 0 + 2i = 2i$.
2. Определение радиуса круга ($r$). Радиус — это расстояние от центра до любой точки на окружности. Из рисунка видно, что окружность проходит через точки $(0, 1)$ и $(0, 3)$ на мнимой оси. Расстояние от центра $(0, 2)$ до точки $(0, 3)$ равно $3 - 2 = 1$. Следовательно, радиус круга $r = 1$.

Подставив найденные значения $z_0 = 2i$ и $r = 1$ в общую формулу, получаем неравенство, описывающее заданную область:

$|z - 2i| < 1$

Теперь проанализируем каждый из предложенных вариантов.

A) $|z + 2i| < 1$

Это неравенство можно переписать в виде $|z - (-2i)| < 1$. Оно задает внутренность круга с центром в точке $z_0 = -2i$ (координаты $(0, -2)$) и радиусом $r=1$. Это не соответствует рисунку.

B) $|z - 2i| < 1$

Это неравенство задает внутренность круга с центром в точке $z_0 = 2i$ (координаты $(0, 2)$) и радиусом $r=1$. Это в точности совпадает с кругом на рисунке.

C) $|z - i| < 2$

Это неравенство задает внутренность круга с центром в точке $z_0 = i$ (координаты $(0, 1)$) и радиусом $r=2$. Это не соответствует рисунку.

D) $|z + i| < 2$

Это неравенство можно переписать как $|z - (-i)| < 2$. Оно задает внутренность круга с центром в точке $z_0 = -i$ (координаты $(0, -1)$) и радиусом $r=2$. Это не соответствует рисунку.

E) $|2z - 2i| < 1$

Преобразуем это неравенство: вынесем $2$ за знак модуля: $|2(z - i)| < 1$, что равносильно $|2| \cdot |z - i| < 1$, или $2|z - i| < 1$. Отсюда получаем $|z - i| < 0.5$. Это неравенство задает внутренность круга с центром в точке $z_0 = i$ (координаты $(0, 1)$) и радиусом $r=0.5$. Это не соответствует рисунку.

Таким образом, единственно верным является вариант B.

Ответ: B