Номер 2, страница 145 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

2. Упростите выражение $(1 - 5i)^2 + \frac{5(1-i)}{2+i} + 4 + 12i^9$:

A) $20 - i$;

B) $-19 - i$;

C) $-20 + 2i$;

D) $-20 - 2i$;

E) $19 + i$.

Для упрощения данного выражения необходимо выполнить действия с комплексными числами по частям.

Исходное выражение: $(1 - 5i)^2 + \frac{5(1-i)}{2+i} + 4 + 12i^9$.

1. Упростим первое слагаемое $(1 - 5i)^2$.

Воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(1 - 5i)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot (5i) + (5i)^2 = 1 - 10i + 25i^2$.

Зная, что мнимая единица в квадрате дает $i^2 = -1$, подставим это значение в выражение:

$1 - 10i + 25(-1) = 1 - 10i - 25 = -24 - 10i$.

2. Упростим второе слагаемое $\frac{5(1-i)}{2+i}$.

Для деления комплексных чисел нужно умножить числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю. Сопряженным для $2+i$ является $2-i$.

$\frac{5(1-i)}{2+i} = \frac{5(1-i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}$

Вычислим числитель:

$5(1-i)(2-i) = 5(1 \cdot 2 - 1 \cdot i - i \cdot 2 + i^2) = 5(2 - i - 2i - 1) = 5(1 - 3i) = 5 - 15i$.

Вычислим знаменатель:

$(2+i)(2-i) = 2^2 - i^2 = 4 - (-1) = 4 + 1 = 5$.

Результат деления:

$\frac{5 - 15i}{5} = \frac{5}{5} - \frac{15i}{5} = 1 - 3i$.

3. Упростим слагаемое $12i^9$.

Степени мнимой единицы $i$ цикличны с периодом 4: $i^1=i, i^2=-1, i^3=-i, i^4=1$.

Чтобы найти $i^9$, найдем остаток от деления 9 на 4: $9 = 2 \cdot 4 + 1$.

Таким образом, $i^9 = i^{2 \cdot 4 + 1} = (i^4)^2 \cdot i^1 = 1^2 \cdot i = i$.

Следовательно, $12i^9 = 12i$.

4. Соберем все части вместе.

Теперь сложим все полученные результаты и оставшееся слагаемое +4:

$(-24 - 10i) + (1 - 3i) + 4 + 12i$.

Сгруппируем действительные и мнимые части:

Действительная часть: $-24 + 1 + 4 = -19$.

Мнимая часть: $-10i - 3i + 12i = (-10 - 3 + 12)i = -1i = -i$.

Объединив действительную и мнимую части, получаем окончательный результат:

$-19 - i$.

Данный результат соответствует варианту B).

Ответ: $-19 - i$