Страница 145 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

18.13. Решите неравенство:

1) $\sqrt{x^2-16} < x-2;$

2) $\sqrt{x^2-x-6} < x+5.$

1) Решим неравенство $\sqrt{x^2 - 16} < x - 2$.

Это иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$ равносильно системе, состоящей из трех условий:

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x^2 - 16 \ge 0$.

2. Правая часть неравенства должна быть положительной, поскольку значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным: $x - 2 > 0$.

3. При выполнении первых двух условий можно возвести обе части неравенства в квадрат, не меняя знака неравенства: $x^2 - 16 < (x - 2)^2$.

Решим каждое неравенство системы по отдельности:

1. $x^2 - 16 \ge 0 \Rightarrow (x - 4)(x + 4) \ge 0$. Решением этого неравенства является объединение промежутков $x \in (-\infty, -4] \cup [4, +\infty)$.

2. $x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2$. Решением является промежуток $x \in (2, +\infty)$.

3. $x^2 - 16 < (x - 2)^2 \Rightarrow x^2 - 16 < x^2 - 4x + 4 \Rightarrow 4x < 16 + 4 \Rightarrow 4x < 20 \Rightarrow x < 5$. Решением является промежуток $x \in (-\infty, 5)$.

Теперь найдем пересечение решений всех трех неравенств. Из первого и второго условий ($x \in (-\infty, -4] \cup [4, +\infty)$ и $x > 2$) следует, что $x \in [4, +\infty)$. Добавив третье условие ($x < 5$), получаем окончательное решение.

Ответ: $x \in [4, 5)$.

2) Решим неравенство $\sqrt{x^2 - x - 6} < x + 5$.

Это неравенство также равносильно системе из трех условий:

1. Область допустимых значений: $x^2 - x - 6 \ge 0$.

2. Положительность правой части: $x + 5 > 0$.

3. Возведение в квадрат обеих частей: $x^2 - x - 6 < (x + 5)^2$.

Решим каждое неравенство по очереди:

1. $x^2 - x - 6 \ge 0$. Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$. Неравенство можно записать в виде $(x - 3)(x + 2) \ge 0$. Решением является $x \in (-\infty, -2] \cup [3, +\infty)$.

2. $x + 5 > 0 \Rightarrow x > -5$. Решением является $x \in (-5, +\infty)$.

3. $x^2 - x - 6 < (x + 5)^2 \Rightarrow x^2 - x - 6 < x^2 + 10x + 25 \Rightarrow -x - 10x < 25 + 6 \Rightarrow -11x < 31 \Rightarrow x > -\frac{31}{11}$. Решением является $x \in (-\frac{31}{11}, +\infty)$.

Найдем пересечение трех полученных множеств решений. Условия $x > -5$ и $x > -\frac{31}{11}$ вместе дают $x > -\frac{31}{11}$, так как $-\frac{31}{11} \approx -2.82$, что больше $-5$. Теперь нужно найти пересечение множества $x \in (-\frac{31}{11}, +\infty)$ с множеством $x \in (-\infty, -2] \cup [3, +\infty)$.

Учитывая, что $-\frac{31}{11} < -2$, пересечение этих множеств дает объединение двух промежутков.

Ответ: $x \in (-\frac{31}{11}, -2] \cup [3, +\infty)$.

18.14. Постройте график функции:

1) $f(x) = (x - 2)^{-2}$;

2) $f(x) = (x + 1)^{-2}$;

3) $f(x) = -1 + \sqrt{x-2}$;

4) $f(x) = 2 - \sqrt{2+x}$.

1) Функция $f(x) = (x - 2)^{-2}$ эквивалентна $f(x) = \frac{1}{(x-2)^2}$. Её график можно построить, используя преобразование графика базовой функции $g(x) = \frac{1}{x^2}$. Преобразование $f(x) = g(x-2)$ представляет собой сдвиг графика $g(x)$ на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс. Исходный график $y = \frac{1}{x^2}$ имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и горизонтальную асимптоту $y=0$. После сдвига вправо на 2 единицы, вертикальная асимптота станет прямой $x=2$, а горизонтальная асимптота $y=0$ останется без изменений. Ключевые точки графика $y = \frac{1}{x^2}$, такие как $(-1, 1)$ и $(1, 1)$, сместятся в точки $(1, 1)$ и $(3, 1)$ соответственно. Точка пересечения с осью Oy находится при $x=0$: $y = \frac{1}{(0-2)^2} = \frac{1}{4}$, то есть точка $(0, 1/4)$.Ответ: График функции $f(x) = (x - 2)^{-2}$ получается сдвигом графика $y=\frac{1}{x^2}$ на 2 единицы вправо. Вертикальная асимптота - $x=2$, горизонтальная асимптота - $y=0$.

2) Функция $f(x) = (x + 1)^{-2}$ эквивалентна $f(x) = \frac{1}{(x+1)^2}$. Её график строится путем преобразования графика базовой функции $g(x) = \frac{1}{x^2}$. Преобразование $f(x) = g(x+1)$ представляет собой сдвиг графика $g(x)$ на 1 единицу влево вдоль оси абсцисс. Исходный график $y = \frac{1}{x^2}$ имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и горизонтальную асимптоту $y=0$. После сдвига влево на 1 единицу, вертикальная асимптота станет прямой $x=-1$, а горизонтальная асимптота $y=0$ останется без изменений. Ключевые точки графика $y = \frac{1}{x^2}$, такие как $(-1, 1)$ и $(1, 1)$, сместятся в точки $(-2, 1)$ и $(0, 1)$ соответственно. Точка $(0, 1)$ является точкой пересечения с осью Oy.Ответ: График функции $f(x) = (x + 1)^{-2}$ получается сдвигом графика $y=\frac{1}{x^2}$ на 1 единицу влево. Вертикальная асимптота - $x=-1$, горизонтальная асимптота - $y=0$.

3) Функция $f(x) = -1 + \sqrt{x-2}$ может быть переписана как $f(x) = \sqrt{x-2} - 1$. Её график строится путем преобразований графика базовой функции $g(x) = \sqrt{x}$. Требуется выполнить два сдвига: на 2 единицы вправо вдоль оси Ox и на 1 единицу вниз вдоль оси Oy. Исходный график $y = \sqrt{x}$ представляет собой ветвь параболы, выходящую из начала координат $(0, 0)$ и проходящую через точки $(1, 1)$ и $(4, 2)$. Последовательное применение сдвигов переносит начальную точку графика из $(0, 0)$ в точку $(2, -1)$. Область определения функции задается условием $x-2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$. Область значений функции, соответственно, $y \ge -1$. Контрольные точки $(1, 1)$ и $(4, 2)$ базовой функции смещаются в точки $(3, 0)$ и $(6, 1)$ на искомом графике.Ответ: График функции $f(x) = -1 + \sqrt{x-2}$ получается сдвигом графика $y=\sqrt{x}$ на 2 единицы вправо и на 1 единицу вниз. Это ветвь параболы с началом в точке $(2, -1)$.

4) Для построения графика функции $f(x) = 2 - \sqrt{2+x}$, которую удобно записать как $f(x) = -\sqrt{x+2} + 2$, применим последовательность преобразований к графику базовой функции $g(x) = \sqrt{x}$. Сначала сдвигаем график $y=\sqrt{x}$ на 2 единицы влево, получая $y=\sqrt{x+2}$. Затем отражаем полученный график симметрично относительно оси абсцисс, что дает нам $y=-\sqrt{x+2}$. Наконец, сдвигаем результат на 2 единицы вверх и получаем итоговый график $y=-\sqrt{x+2} + 2$. Начальная точка графика $y=\sqrt{x}$, находящаяся в $(0, 0)$, в результате этих преобразований переместится в точку $(-2, 2)$. Область определения функции задается условием $x+2 \ge 0$, то есть $x \ge -2$. Область значений, учитывая знак минус перед корнем, будет $y \le 2$. Точка пересечения с осью Oy ($x=0$) будет $y = 2 - \sqrt{2}$, а с осью Ox ($y=0$) будет $x=2$, что следует из уравнения $2 - \sqrt{x+2} = 0$.Ответ: График функции $f(x) = 2 - \sqrt{2+x}$ — это ветвь параболы, выходящая из точки $(-2, 2)$ и направленная вниз и вправо. Он получен из графика $y=\sqrt{x}$ путем сдвига на 2 единицы влево, отражения относительно оси Ox и сдвига на 2 единицы вверх.

1. Упростите выражение $(3 + i)(3 - i) - 2(3 - 2i)$ и найдите модуль полученного числа:

A) $\sqrt{74}$; B) $2\sqrt{2}$; C) $4\sqrt{2}$; D) $\sqrt{58}$; E) $\sqrt{42}$.

Для решения задачи необходимо выполнить два действия: сначала упростить выражение, а затем найти модуль полученного комплексного числа.

Шаг 1: Упрощение выражения.

Исходное выражение: $(3 + i)(3 - i) - 2(3 - 2i)$.

Рассмотрим первую часть $(3 + i)(3 - i)$. Это произведение комплексно-сопряженных чисел, которое можно вычислить по формуле разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$(3 + i)(3 - i) = 3^2 - i^2$.

По определению мнимой единицы, $i^2 = -1$. Подставим это значение в выражение:

$9 - (-1) = 9 + 1 = 10$.

Теперь рассмотрим вторую часть выражения, $-2(3 - 2i)$. Раскроем скобки, умножив $-2$ на каждый член в скобках:

$-2(3 - 2i) = (-2) \cdot 3 + (-2) \cdot (-2i) = -6 + 4i$.

Теперь объединим (сложим) результаты обеих частей:

$10 + (-6 + 4i) = 10 - 6 + 4i = 4 + 4i$.

Итак, в результате упрощения мы получили комплексное число $z = 4 + 4i$.

Шаг 2: Нахождение модуля полученного числа.

Модуль комплексного числа вида $z = a + bi$ (где $a$ – действительная часть, $b$ – мнимая часть) вычисляется по формуле $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Для нашего числа $z = 4 + 4i$ имеем $a = 4$ и $b = 4$.

Подставляем эти значения в формулу модуля:

$|4 + 4i| = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}$.

Упростим полученное значение корня:

$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.

Следовательно, модуль полученного комплексного числа равен $4\sqrt{2}$. Этот результат соответствует варианту ответа C.

Ответ: C) $4\sqrt{2}$.

2. Упростите выражение $(1 - 5i)^2 + \frac{5(1-i)}{2+i} + 4 + 12i^9$:

A) $20 - i$;

B) $-19 - i$;

C) $-20 + 2i$;

D) $-20 - 2i$;

E) $19 + i$.

Для упрощения данного выражения необходимо выполнить действия с комплексными числами по частям.

Исходное выражение: $(1 - 5i)^2 + \frac{5(1-i)}{2+i} + 4 + 12i^9$.

1. Упростим первое слагаемое $(1 - 5i)^2$.

Воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(1 - 5i)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot (5i) + (5i)^2 = 1 - 10i + 25i^2$.

Зная, что мнимая единица в квадрате дает $i^2 = -1$, подставим это значение в выражение:

$1 - 10i + 25(-1) = 1 - 10i - 25 = -24 - 10i$.

2. Упростим второе слагаемое $\frac{5(1-i)}{2+i}$.

Для деления комплексных чисел нужно умножить числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю. Сопряженным для $2+i$ является $2-i$.

$\frac{5(1-i)}{2+i} = \frac{5(1-i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}$

Вычислим числитель:

$5(1-i)(2-i) = 5(1 \cdot 2 - 1 \cdot i - i \cdot 2 + i^2) = 5(2 - i - 2i - 1) = 5(1 - 3i) = 5 - 15i$.

Вычислим знаменатель:

$(2+i)(2-i) = 2^2 - i^2 = 4 - (-1) = 4 + 1 = 5$.

Результат деления:

$\frac{5 - 15i}{5} = \frac{5}{5} - \frac{15i}{5} = 1 - 3i$.

3. Упростим слагаемое $12i^9$.

Степени мнимой единицы $i$ цикличны с периодом 4: $i^1=i, i^2=-1, i^3=-i, i^4=1$.

Чтобы найти $i^9$, найдем остаток от деления 9 на 4: $9 = 2 \cdot 4 + 1$.

Таким образом, $i^9 = i^{2 \cdot 4 + 1} = (i^4)^2 \cdot i^1 = 1^2 \cdot i = i$.

Следовательно, $12i^9 = 12i$.

4. Соберем все части вместе.

Теперь сложим все полученные результаты и оставшееся слагаемое +4:

$(-24 - 10i) + (1 - 3i) + 4 + 12i$.

Сгруппируем действительные и мнимые части:

Действительная часть: $-24 + 1 + 4 = -19$.

Мнимая часть: $-10i - 3i + 12i = (-10 - 3 + 12)i = -1i = -i$.

Объединив действительную и мнимую части, получаем окончательный результат:

$-19 - i$.

Данный результат соответствует варианту B).

Ответ: $-19 - i$

3. Корни квадратного уравнения $x^2 - 6x + 25 = 0$ равны:

A) $-3 \pm 3i;$

B) $3 \pm 2i;$

C) $-3 \pm 4i;$

D) $-3 \pm 2i;$

E) $3 \pm 4i.$

Для нахождения корней квадратного уравнения $x^2 - 6x + 25 = 0$ воспользуемся формулой корней для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$.

В данном уравнении коэффициенты равны: $a = 1$, $b = -6$, $c = 25$.

Сначала вычислим дискриминант ($D$) по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 36 - 100 = -64$.

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней, но имеет два комплексно-сопряженных корня. Для их нахождения используем ту же формулу корней: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

Подставим наши значения:

$x_{1,2} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{-64}}{2 \cdot 1}$

$x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{64 \cdot (-1)}}{2}$

Используя определение мнимой единицы $i = \sqrt{-1}$, преобразуем выражение:

$x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{64}i}{2}$

$x_{1,2} = \frac{6 \pm 8i}{2}$

Теперь разделим почленно числитель на знаменатель, чтобы получить окончательный вид корней:

$x_{1,2} = \frac{6}{2} \pm \frac{8i}{2}$

$x_{1,2} = 3 \pm 4i$

Таким образом, корнями уравнения являются $x_1 = 3 + 4i$ и $x_2 = 3 - 4i$. Сравнивая с предложенными вариантами, мы видим, что это соответствует варианту E.

Ответ: E) $3 \pm 4i$.

4. Разложите трехчлен $x^2 + 4x + 13$ на линейные множители:

A) $(x - 3i)(x + 3i);$

B) $(x + 2 - 3i)(x + 2 + 3i);$

C) $(x - 2 + 3i)(x + 3i);$

D) $(x - 2 - 3i)(x - 2 + 3i);$

E) $(x - 1 - 3i)(x + 1 + 3i).$

Для разложения квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c$ на линейные множители, необходимо найти его корни $x_1$ и $x_2$, решив уравнение $ax^2 + bx + c = 0$. После нахождения корней, трехчлен можно представить в виде $a(x - x_1)(x - x_2)$.

В нашем случае дан трехчлен $x^2 + 4x + 13$. Приравняем его к нулю, чтобы найти корни:

$x^2 + 4x + 13 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a = 1$, $b = 4$, $c = 13$.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 16 - 52 = -36$

Так как дискриминант отрицательный, корни уравнения будут комплексными. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{-36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{36 \cdot (-1)}}{2} = \frac{-4 \pm 6i}{2}$

Где $i = \sqrt{-1}$ — мнимая единица.

Вычислим корни:

$x_1 = \frac{-4 + 6i}{2} = -2 + 3i$

$x_2 = \frac{-4 - 6i}{2} = -2 - 3i$

Теперь подставим найденные корни в формулу разложения на множители $a(x - x_1)(x - x_2)$. Так как $a=1$, получаем:

$1 \cdot (x - (-2 + 3i))(x - (-2 - 3i))$

Раскроем скобки внутри скобок:

$(x + 2 - 3i)(x + 2 + 3i)$

Это выражение соответствует варианту ответа B. Для проверки можно перемножить полученные множители, используя формулу разности квадратов $(u-v)(u+v) = u^2 - v^2$, где $u = (x+2)$ и $v = 3i$:

$((x+2) - 3i)((x+2) + 3i) = (x+2)^2 - (3i)^2 = (x^2 + 4x + 4) - (9i^2) = x^2 + 4x + 4 - 9(-1) = x^2 + 4x + 4 + 9 = x^2 + 4x + 13$.

Результат совпадает с исходным трехчленом, следовательно, разложение выполнено верно.

Ответ: $(x + 2 - 3i)(x + 2 + 3i)$

5. Найдите значение корня $\sqrt{4+2\sqrt{5}i}$:

A) $\pm(\sqrt{5}+i)$;

B) $\pm(2\sqrt{5}+i)$;

C) $\pm(\sqrt{5}+2i)$;

D) $\pm(\sqrt{5}-2i)$;

E) $\pm(\sqrt{5}-i)$.

Для нахождения значения корня из комплексного числа $\sqrt{4+2\sqrt{5}i}$ представим результат в виде комплексного числа $x+yi$, где $x$ и $y$ – действительные числа.

$(x+yi)^2 = 4+2\sqrt{5}i$

Раскроем квадрат в левой части уравнения:

$x^2 + 2xyi + (yi)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi$

Приравняем действительные и мнимые части полученного выражения к соответствующим частям числа $4+2\sqrt{5}i$:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = 4 \\ 2xy = 2\sqrt{5} \end{cases}$

Из второго уравнения системы выразим $y$ через $x$:

$xy = \sqrt{5}$

$y = \frac{\sqrt{5}}{x}$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$x^2 - \left(\frac{\sqrt{5}}{x}\right)^2 = 4$

$x^2 - \frac{5}{x^2} = 4$

Умножим обе части уравнения на $x^2$ (где $x \neq 0$), чтобы избавиться от знаменателя:

$x^4 - 5 = 4x^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить биквадратное уравнение:

$x^4 - 4x^2 - 5 = 0$

Сделаем замену переменной $t = x^2$. Так как $x$ – действительное число, то $t \ge 0$.

$t^2 - 4t - 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта или по теореме Виета. Корнями являются $t_1 = 5$ и $t_2 = -1$.

Поскольку $t = x^2 \ge 0$, корень $t_2 = -1$ является посторонним.

Следовательно, $x^2 = 5$, откуда $x = \sqrt{5}$ или $x = -\sqrt{5}$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$:

1. Если $x = \sqrt{5}$, то $y = \frac{\sqrt{5}}{x} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 1$.

Первый корень: $\sqrt{5} + i$.

2. Если $x = -\sqrt{5}$, то $y = \frac{\sqrt{5}}{x} = \frac{\sqrt{5}}{-\sqrt{5}} = -1$.

Второй корень: $-\sqrt{5} - i = -(\sqrt{5} + i)$.

Таким образом, значения корня $\sqrt{4+2\sqrt{5}i}$ равны $\pm(\sqrt{5}+i)$.

Ответ: A) $\pm(\sqrt{5} + i)$.

6. На комплексной плоскости, для которых $|z - 3 - 2i| < 2$, является:

A) множество точек круга радиуса 3 и центром в точке M(3; 2);

B) множество точек круга радиуса 2 и центром в точке M(0; 3);

C) множество точек круга радиуса 2 и центром в точке M(0; 0);

D) множество точек круга радиуса 2 и центром в точке M(3; 2);

E) множество точек круга радиуса 1 и центром в точке M(2; 3).

Данное неравенство $|z - 3 - 2i| < 2$ описывает множество точек на комплексной плоскости.

В общем виде, неравенство $|z - z_0| < R$ задает открытый круг (то есть все точки внутри окружности, не включая саму окружность). В этой формуле:

• $z$ — комплексное число, соответствующее любой точке внутри круга.
• $z_0$ — комплексное число, соответствующее центру круга.
• $R$ — положительное действительное число, являющееся радиусом круга.

Выражение $|z - z_0|$ означает расстояние между точками, соответствующими комплексным числам $z$ и $z_0$.

Преобразуем исходное неравенство к стандартному виду, вынеся знак минуса за скобки:

$|z - (3 + 2i)| < 2$

Теперь мы можем легко определить параметры круга, сравнивая полученное выражение с общей формулой $|z - z_0| < R$:

• Центр круга $z_0$ — это комплексное число $3 + 2i$. На комплексной плоскости (которая аналогична декартовой системе координат) этому числу соответствует точка M с координатами $(3, 2)$.
• Радиус круга $R$ равен $2$.

Следовательно, неравенство описывает множество точек открытого круга с радиусом 2 и центром в точке M(3; 2).

Для проверки можно использовать алгебраический подход. Представим комплексное число $z$ в виде $z = x + iy$, где $x$ — действительная часть, а $y$ — мнимая.

$|(x + iy) - 3 - 2i| < 2$

Сгруппируем действительные и мнимые части:

$|(x - 3) + i(y - 2)| < 2$

Модуль комплексного числа $a + bi$ равен $\sqrt{a^2 + b^2}$. Применим это:

$\sqrt{(x - 3)^2 + (y - 2)^2} < 2$

Возведя обе части в квадрат, получим:

$(x - 3)^2 + (y - 2)^2 < 2^2$

$(x - 3)^2 + (y - 2)^2 < 4$

Это неравенство, описывающее все точки внутри окружности с центром в точке $(3, 2)$ и радиусом $r = \sqrt{4} = 2$.

Сравнив этот результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту D.

Ответ: D) множество точек круга радиуса 2 и центром в точке M(3; 2);

7. Если одним из корней квадратного уравнения является число $5 - 4i$,

то это квадратное уравнение имеет вид:

A) $x^2 + 10x + 41 = 0$;

B) $x^2 - 5x + 41 = 0$;

C) $x^2 + 10x + 42 = 0$;

D) $x^2 - 5x - 41 = 0$;

E) $x^2 - 10x + 41 = 0$.

Согласно условию задачи, один из корней квадратного уравнения $x_1 = 5 - 4i$.

Поскольку все предложенные в вариантах ответов квадратные уравнения имеют действительные коэффициенты (коэффициенты при $x^2$, $x$ и свободный член являются действительными числами), то если у такого уравнения есть комплексный корень, то и сопряженное ему число также является корнем этого уравнения.

Комплексно-сопряженное число для $z = a + bi$ это $\bar{z} = a - bi$. Следовательно, для корня $x_1 = 5 - 4i$ сопряженным будет корень $x_2 = 5 + 4i$.

Зная оба корня, $x_1$ и $x_2$, мы можем составить приведенное квадратное уравнение по формуле, основанной на теореме Виета:$x^2 - (x_1 + x_2)x + (x_1 \cdot x_2) = 0$.

Сначала найдем сумму корней $x_1 + x_2$:$x_1 + x_2 = (5 - 4i) + (5 + 4i) = 5 + 5 - 4i + 4i = 10$.

Теперь найдем произведение корней $x_1 \cdot x_2$:$x_1 \cdot x_2 = (5 - 4i)(5 + 4i)$.Это произведение можно вычислить по формуле разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:$x_1 \cdot x_2 = 5^2 - (4i)^2 = 25 - 16i^2$.Зная, что мнимая единица в квадрате равна $-1$ ($i^2 = -1$), получаем:$x_1 \cdot x_2 = 25 - 16(-1) = 25 + 16 = 41$.

Подставим найденные значения суммы и произведения корней в формулу квадратного уравнения:$x^2 - (10)x + (41) = 0$$x^2 - 10x + 41 = 0$.

Сравнивая полученное уравнение $x^2 - 10x + 41 = 0$ с предложенными вариантами, видим, что оно соответствует варианту E).

Ответ: E) $x^2 - 10x + 41 = 0$.