Страница 139 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1. Какие действия можно выполнять над комплексными числами в алгебраической форме?

2. Какие понятия, формулы, преобразования были использованы при доказательстве частного двух комплексных чисел?

3. Учитывается ли знак числа b при извлечении квадратного корня из комплексного числа $ \sqrt{a+bi} $ ?

1. Какие действия можно выполнять над комплексными числами в алгебраической форме?

Над комплексными числами, представленными в алгебраической форме $z = a + bi$, где $a$ и $b$ – действительные числа, а $i$ – мнимая единица ($i^2 = -1$), можно выполнять все основные арифметические операции.

Пусть даны два комплексных числа $z_1 = a_1 + b_1i$ и $z_2 = a_2 + b_2i$.

- Сложение: Действительные и мнимые части складываются отдельно.

$z_1 + z_2 = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i$.

- Вычитание: Действительные и мнимые части вычитаются отдельно.

$z_1 - z_2 = (a_1 - a_2) + (b_1 - b_2)i$.

- Умножение: Числа перемножаются как двучлены с последующим приведением подобных слагаемых и учетом того, что $i^2 = -1$.

$z_1 \cdot z_2 = (a_1 + b_1i)(a_2 + b_2i) = a_1a_2 + a_1b_2i + b_1ia_2 + b_1b_2i^2 = (a_1a_2 - b_1b_2) + (a_1b_2 + a_2b_1)i$.

- Деление: Для выполнения деления числитель и знаменатель дроби умножают на число, сопряженное знаменателю, чтобы избавиться от мнимой части в знаменателе.

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{a_1 + b_1i}{a_2 + b_2i} = \frac{(a_1 + b_1i)(a_2 - b_2i)}{(a_2 + b_2i)(a_2 - b_2i)} = \frac{a_1a_2 - a_1b_2i + b_1ia_2 - b_1b_2i^2}{a_2^2 - (b_2i)^2} = \frac{(a_1a_2 + b_1b_2) + (a_2b_1 - a_1b_2)i}{a_2^2 + b_2^2} = \frac{a_1a_2 + b_1b_2}{a_2^2 + b_2^2} + \frac{a_2b_1 - a_1b_2}{a_2^2 + b_2^2}i$. Это действие возможно при $z_2 \neq 0$.

- Возведение в целую степень: Это многократное умножение числа на само себя. Для натуральной степени $n$ можно использовать формулу бинома Ньютона: $(a+bi)^n$.

- Извлечение квадратного корня: Эта операция также выполнима в алгебраической форме и сводится к решению системы уравнений относительно действительной и мнимой частей искомого корня.

Кроме того, можно выполнять операции сравнения на равенство, нахождения комплексно-сопряженного числа и вычисления модуля.

Ответ: Над комплексными числами в алгебраической форме можно выполнять сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в целую степень и извлечение корней.

2. Какие понятия, формулы, преобразования были использованы при доказательстве частного двух комплексных чисел?

При выводе формулы для частного двух комплексных чисел $z_1 = a_1 + b_1i$ и $z_2 = a_2 + b_2i$ используются следующие ключевые элементы:

1. Понятие комплексно-сопряженного числа. Для знаменателя $z_2 = a_2 + b_2i$ сопряженным является число $\bar{z_2} = a_2 - b_2i$.

2. Основное свойство дроби. Значение дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить на одно и то же ненулевое число. В данном случае дробь $\frac{z_1}{z_2}$ умножают на $\frac{\bar{z_2}}{\bar{z_2}}$.

3. Свойство произведения комплексного числа на его сопряженное. Это произведение всегда является действительным неотрицательным числом, равным квадрату модуля исходного числа: $z_2 \cdot \bar{z_2} = (a_2 + b_2i)(a_2 - b_2i) = a_2^2 + b_2^2 = |z_2|^2$. Это преобразование позволяет избавиться от мнимой единицы в знаменателе.

4. Правило умножения комплексных чисел в алгебраической форме. Оно применяется для раскрытия скобок в числителе: $(a_1 + b_1i)(a_2 - b_2i)$.

5. Основное свойство мнимой единицы. В процессе вычислений используется тождество $i^2 = -1$.

Ответ: Были использованы понятия комплексно-сопряженного числа, основное свойство дроби, формула произведения числа на сопряженное ему ($z \cdot \bar{z} = |z|^2$), правило умножения комплексных чисел и свойство $i^2 = -1$.

3. Учитывается ли знак числа b при извлечении квадратного корня из комплексного числа $\sqrt{a+bi}$?

Да, знак числа $b$ является ключевым при извлечении квадратного корня из комплексного числа $z = a+bi$.

Пусть квадратный корень из $a+bi$ равен другому комплексному числу $x+yi$. Тогда по определению корня: $(x+yi)^2 = a+bi$

Раскроем скобки в левой части: $x^2 + 2xyi + (yi)^2 = a+bi$

$x^2 - y^2 + 2xyi = a+bi$

Два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части. Это дает нам систему из двух уравнений с двумя действительными переменными $x$ и $y$:

$ \begin{cases} x^2 - y^2 = a \\ 2xy = b \end{cases} $

Из второго уравнения системы, $2xy = b$, видно, что знак мнимой части исходного числа ($b$) напрямую определяет соотношение знаков действительной ($x$) и мнимой ($y$) частей искомого корня:

- Если $b > 0$, то $x$ и $y$ должны иметь одинаковые знаки (оба положительные или оба отрицательные).

- Если $b < 0$, то $x$ и $y$ должны иметь разные знаки (один положительный, другой отрицательный).

- Если $b = 0$, то либо $x=0$, либо $y=0$ (что соответствует извлечению корня из действительного числа).

Таким образом, после нахождения абсолютных величин $x$ и $y$, именно знак $b$ позволяет правильно выбрать их знаки, чтобы получить два верных значения квадратного корня.

Общая формула для корня при $b \neq 0$ явно демонстрирует эту зависимость:

$\sqrt{a+bi} = \pm \left( \sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}+a}{2}} + i \cdot \text{sgn}(b) \sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}} \right)$, где $\text{sgn}(b)$ – функция, возвращающая знак числа $b$.

Ответ: Да, знак числа $b$ обязательно учитывается. Он определяет, будут ли действительная и мнимая части корня иметь одинаковые или противоположные знаки.