Страница 134 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

16.4. Найдите модуль комплексного числа:

1) $2 + 3i$;

2) $-2 + 4i$;

3) $-2.5 + 1.5i$;

4) $2 + i\sqrt{3}$.

Модуль комплексного числа $z = a + bi$, где $a$ – действительная часть, а $b$ – мнимая часть, представляет собой расстояние от точки $(a, b)$ до начала координат на комплексной плоскости и вычисляется по формуле: $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.

1) Для комплексного числа $z = 2 + 3i$ действительная часть $a = 2$, мнимая часть $b = 3$.

Вычисляем модуль:

$|2 + 3i| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$.

Ответ: $\sqrt{13}$.

2) Для комплексного числа $z = -2 + 4i$ действительная часть $a = -2$, мнимая часть $b = 4$.

Вычисляем модуль:

$|-2 + 4i| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.

Ответ: $2\sqrt{5}$.

3) Для комплексного числа $z = -2,5 + 1,5i$ действительная часть $a = -2,5$, мнимая часть $b = 1,5$.

Вычисляем модуль:

$|-2,5 + 1,5i| = \sqrt{(-2,5)^2 + (1,5)^2} = \sqrt{6,25 + 2,25} = \sqrt{8,5} = \sqrt{\frac{17}{2}} = \frac{\sqrt{17 \cdot 2}}{\sqrt{2 \cdot 2}} = \frac{\sqrt{34}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{34}}{2}$.

4) Для комплексного числа $z = 2 + i\sqrt{3}$ действительная часть $a = 2$, мнимая часть $b = \sqrt{3}$.

Вычисляем модуль:

$|2 + i\sqrt{3}| = \sqrt{2^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 3} = \sqrt{7}$.

Ответ: $\sqrt{7}$.

16.5. Заполните таблицу:

Таблица 29

Комплексное число ($z$)

Сопряженное комплексное число ($\bar{z}$)

$z = \sqrt{3} - \sqrt{2} i$

$z = -\sqrt{2} - 3\sqrt{3} i$

$z = -4 - \sqrt{2} i$

$z = -4\sqrt{2}$

$z = -5\sqrt{2}$

Для нахождения сопряженного комплексного числа $\bar{z}$ к числу $z = a + bi$ необходимо изменить знак его мнимой части. Таким образом, если $z = a + bi$, то сопряженное ему число $\bar{z} = a - bi$.

$z = \sqrt{3} - \sqrt{2}i$

В этом комплексном числе действительная часть $a = \sqrt{3}$, а мнимая часть $b = -\sqrt{2}$. Чтобы найти сопряженное число, мы меняем знак мнимой части на противоположный:

$\bar{z} = \sqrt{3} - (-\sqrt{2}i) = \sqrt{3} + \sqrt{2}i$.

Ответ: $\bar{z} = \sqrt{3} + \sqrt{2}i$

$z = -\sqrt{2} - 3\sqrt{3}i$

Здесь действительная часть $a = -\sqrt{2}$, а мнимая часть $b = -3\sqrt{3}$. Меняем знак у мнимой части:

$\bar{z} = -\sqrt{2} - (-3\sqrt{3}i) = -\sqrt{2} + 3\sqrt{3}i$.

Ответ: $\bar{z} = -\sqrt{2} + 3\sqrt{3}i$

$z = -4 - \sqrt{2}i$

Действительная часть этого числа $a = -4$, а мнимая часть $b = -\sqrt{2}$. Сопряженное число будет:

$\bar{z} = -4 - (-\sqrt{2}i) = -4 + \sqrt{2}i$.

Ответ: $\bar{z} = -4 + \sqrt{2}i$

$z = -4\sqrt{2}i$

Данное число является чисто мнимым. Его можно записать как $z = 0 - 4\sqrt{2}i$. Действительная часть $a = 0$, мнимая часть $b = -4\sqrt{2}$. Находим сопряженное:

$\bar{z} = 0 - (-4\sqrt{2}i) = 4\sqrt{2}i$.

Ответ: $\bar{z} = 4\sqrt{2}i$

$z = -5\sqrt{2}$

Данное число является действительным. Его можно записать в комплексной форме как $z = -5\sqrt{2} + 0i$. Действительная часть $a = -5\sqrt{2}$, мнимая часть $b = 0$. Сопряженное число равно самому числу, так как изменение знака у нулевой мнимой части не меняет число:

$\bar{z} = -5\sqrt{2} - 0i = -5\sqrt{2}$.

Ответ: $\bar{z} = -5\sqrt{2}$

16.6. Заполните таблицу:

Таблица 30

Комплексное число ($z$) Сопряженное комплексное число ($\bar{z}$)

$z = 5 - 2i$

$z = 1 + \sqrt{3} - \sqrt{2}i$

$z = 3 + 5\sqrt{2} - 4\sqrt{3}i$

$z = -4 - (1 + \sqrt{2})i$

$z = -2\sqrt{3} - i(\sqrt{2} + 3)$

$z = (1 - 4\sqrt{2})i$

$z = -5\sqrt{2} + 2$

Для нахождения комплексно-сопряженного числа $\bar{z}$ для комплексного числа $z = a + bi$, необходимо изменить знак его мнимой части. Таким образом, $\bar{z} = a - bi$. Здесь $a = \text{Re}(z)$ - действительная часть, а $b = \text{Im}(z)$ - мнимая часть. Применим это правило для каждого числа в таблице.

$z = 5 - 2i$

В данном комплексном числе действительная часть $a = 5$, а мнимая часть $b = -2$.

Чтобы найти сопряженное число, мы меняем знак у мнимой части:

$\bar{z} = 5 - (-2)i = 5 + 2i$.

Ответ: $5 + 2i$

$z = 1 + \sqrt{3} - \sqrt{2}i$

Здесь действительная часть $a = 1 + \sqrt{3}$, а мнимая часть $b = -\sqrt{2}$.

Меняем знак мнимой части, чтобы получить сопряженное число:

$\bar{z} = (1 + \sqrt{3}) - (-\sqrt{2})i = 1 + \sqrt{3} + \sqrt{2}i$.

Ответ: $1 + \sqrt{3} + \sqrt{2}i$

$z = 3 + 5\sqrt{2} - 4\sqrt{3}i$

Действительная часть этого числа $a = 3 + 5\sqrt{2}$, а мнимая часть $b = -4\sqrt{3}$.

Находим сопряженное число, изменив знак мнимой части:

$\bar{z} = (3 + 5\sqrt{2}) - (-4\sqrt{3})i = 3 + 5\sqrt{2} + 4\sqrt{3}i$.

Ответ: $3 + 5\sqrt{2} + 4\sqrt{3}i$

$z = -4 - (1 + \sqrt{2})i$

В этом случае действительная часть $a = -4$, а мнимая часть $b = -(1 + \sqrt{2})$.

Меняем знак мнимой части:

$\bar{z} = -4 - (-(1 + \sqrt{2}))i = -4 + (1 + \sqrt{2})i$.

Ответ: $-4 + (1 + \sqrt{2})i$

$z = -2\sqrt{3} - i(\sqrt{2} + 3)$

Запишем число в стандартной форме: $z = -2\sqrt{3} - (\sqrt{2} + 3)i$.

Действительная часть $a = -2\sqrt{3}$, мнимая часть $b = -(\sqrt{2} + 3)$.

Находим сопряженное число, изменяя знак мнимой части:

$\bar{z} = -2\sqrt{3} - (-(\sqrt{2} + 3))i = -2\sqrt{3} + (\sqrt{2} + 3)i$.

Ответ: $-2\sqrt{3} + (\sqrt{2} + 3)i$

$z = (1 - 4\sqrt{2})i$

Это чисто мнимое число, его действительная часть $a = 0$, а мнимая часть $b = 1 - 4\sqrt{2}$.

Меняем знак мнимой части:

$\bar{z} = 0 - (1 - 4\sqrt{2})i = -(1 - 4\sqrt{2})i$. Это можно также записать как $(4\sqrt{2} - 1)i$.

Ответ: $-(1 - 4\sqrt{2})i$

$z = -5\sqrt{2} + 2$

Это действительное число, так как мнимая часть равна нулю. Можно записать как $z = (2 - 5\sqrt{2}) + 0i$.

Действительная часть $a = 2 - 5\sqrt{2}$, мнимая часть $b = 0$.

Сопряженное число для любого действительного числа равно самому этому числу:

$\bar{z} = (2 - 5\sqrt{2}) - 0i = 2 - 5\sqrt{2}$.

Ответ: $-5\sqrt{2} + 2$

16.7. Найдите модуль сопряженного комплексного числа к числу z:

1) $z = 2 - 5i;$

2) $z = -4 - 2i;$

3) $z = -\sqrt{5} + i\sqrt{3};$

4) $z = -2\sqrt{5} - i\sqrt{3};$

Для решения задачи воспользуемся свойством модуля комплексного числа: модуль сопряженного комплексного числа равен модулю самого числа, то есть $ |\bar{z}| = |z| $. Модуль комплексного числа $ z = a + bi $, где $a$ – действительная часть и $b$ – мнимая часть, вычисляется по формуле $ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} $.

1) Дано комплексное число $ z = 2 - 5i $.

Действительная часть $ a = 2 $, мнимая часть $ b = -5 $.

Комплексно сопряженное число к $z$ есть $ \bar{z} = 2 - (-5i) = 2 + 5i $. Его действительная часть равна $2$, а мнимая $5$.

Найдем модуль сопряженного числа:

$ |\bar{z}| = \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29} $.

Заметим, что модуль исходного числа также равен $ |z| = \sqrt{2^2 + (-5)^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29} $. Это подтверждает свойство $ |\bar{z}| = |z| $.

Ответ: $ \sqrt{29} $

2) Дано комплексное число $ z = -4 - 2i $.

Действительная часть $ a = -4 $, мнимая часть $ b = -2 $.

Используя свойство $ |\bar{z}| = |z| $, найдем модуль исходного числа:

$ |\bar{z}| = |z| = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5} $.

Ответ: $ 2\sqrt{5} $

3) Дано комплексное число $ z = -\sqrt{5} + i\sqrt{3} $.

Действительная часть $ a = -\sqrt{5} $, мнимая часть $ b = \sqrt{3} $.

Используя свойство $ |\bar{z}| = |z| $, найдем модуль исходного числа:

$ |\bar{z}| = |z| = \sqrt{(-\sqrt{5})^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{5 + 3} = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2} $.

Ответ: $ 2\sqrt{2} $

4) Дано комплексное число $ z = -2\sqrt{5} - i\sqrt{3} $.

Действительная часть $ a = -2\sqrt{5} $, мнимая часть $ b = -\sqrt{3} $.

Используя свойство $ |\bar{z}| = |z| $, найдем модуль исходного числа:

$ |\bar{z}| = |z| = \sqrt{(-2\sqrt{5})^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 \cdot 5 + 3} = \sqrt{20 + 3} = \sqrt{23} $.

Ответ: $ \sqrt{23} $

16.8. На координатной плоскости отметьте точки, соответствующие комплексным числам $z$ и $\bar{z}$:

1) $z = -1 - 3i;$

2) $z = -3 - i;$

3) $z = -\sqrt{5} + i\sqrt{3};$

4) $z = -2 - i\sqrt{8}.$

Каждому комплексному числу вида $z = a + bi$ на координатной плоскости соответствует точка с координатами $(a, b)$, где $a$ — это действительная часть числа ($Re(z)$), а $b$ — мнимая часть ($Im(z)$). Комплексно-сопряженное число $\bar{z}$ имеет вид $a - bi$ и ему соответствует точка с координатами $(a, -b)$. Точки, соответствующие $z$ и $\bar{z}$, симметричны относительно действительной оси (оси абсцисс).

1) Для комплексного числа $z = -1 - 3i$ его действительная часть $Re(z) = -1$, а мнимая часть $Im(z) = -3$. Точка, соответствующая этому числу на координатной плоскости, имеет координаты $(-1, -3)$.

Комплексно-сопряженное число для $z$ это $\bar{z} = -1 - (-3i) = -1 + 3i$. Ему соответствует точка с координатами $(-1, 3)$.

Ответ: Точка для $z$ имеет координаты $(-1, -3)$, а для $\bar{z}$ — $(-1, 3)$.

2) Для комплексного числа $z = -3 - i$ его действительная часть $Re(z) = -3$, а мнимая часть $Im(z) = -1$. Точка, соответствующая этому числу на координатной плоскости, имеет координаты $(-3, -1)$.

Комплексно-сопряженное число для $z$ это $\bar{z} = -3 - (-i) = -3 + i$. Ему соответствует точка с координатами $(-3, 1)$.

Ответ: Точка для $z$ имеет координаты $(-3, -1)$, а для $\bar{z}$ — $(-3, 1)$.

3) Для комплексного числа $z = -\sqrt{5} + i\sqrt{3}$ его действительная часть $Re(z) = -\sqrt{5}$, а мнимая часть $Im(z) = \sqrt{3}$. Точка, соответствующая этому числу на координатной плоскости, имеет координаты $(-\sqrt{5}, \sqrt{3})$.

Комплексно-сопряженное число для $z$ это $\bar{z} = -\sqrt{5} - i\sqrt{3}$. Ему соответствует точка с координатами $(-\sqrt{5}, -\sqrt{3})$.

Ответ: Точка для $z$ имеет координаты $(-\sqrt{5}, \sqrt{3})$, а для $\bar{z}$ — $(-\sqrt{5}, -\sqrt{3})$.

4) Для комплексного числа $z = -2 - i\sqrt{8}$ его действительная часть $Re(z) = -2$, а мнимая часть $Im(z) = -\sqrt{8}$. Точка, соответствующая этому числу на координатной плоскости, имеет координаты $(-2, -\sqrt{8})$.

Комплексно-сопряженное число для $z$ это $\bar{z} = -2 - (-i\sqrt{8}) = -2 + i\sqrt{8}$. Ему соответствует точка с координатами $(-2, \sqrt{8})$.

Ответ: Точка для $z$ имеет координаты $(-2, -\sqrt{8})$, а для $\bar{z}$ — $(-2, \sqrt{8})$.

16.9. На координатной плоскости заданы координаты точек $M(a; b)$ (рис. 53).

1) Запишите соответствующее им комплексное число $z$ и найдите его модуль.

2) Запишите комплексные числа, соответствующие точкам $M_8(a+1; b-1)$ и $M_9(a-3; b-2)$, если $a = 2$, $b = -3$.

Рис. 53

1) Каждой точке $M(a; b)$ на координатной плоскости соответствует комплексное число вида $z = a + bi$, где $a$ — действительная часть, а $b$ — мнимая часть. Модуль комплексного числа $z$ обозначается $|z|$ и вычисляется по формуле $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Рассмотрим каждую точку, указанную на рисунке:

• Для точки $M_1(-4; 3)$ имеем $a = -4$, $b = 3$.

Соответствующее комплексное число: $z_1 = -4 + 3i$.

Его модуль: $|z_1| = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

• Для точки $M_2(5; 4)$ имеем $a = 5$, $b = 4$.

Соответствующее комплексное число: $z_2 = 5 + 4i$.

Его модуль: $|z_2| = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41}$.

• Для точки $M_3(0; 1)$ имеем $a = 0$, $b = 1$.

Соответствующее комплексное число: $z_3 = 0 + 1i = i$.

Его модуль: $|z_3| = \sqrt{0^2 + 1^2} = \sqrt{1} = 1$.

• Для точки $M_4(3; -2)$ имеем $a = 3$, $b = -2$.

Соответствующее комплексное число: $z_4 = 3 - 2i$.

Его модуль: $|z_4| = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$.

• Для точки $M_5(-4; -3)$ имеем $a = -4$, $b = -3$.

Соответствующее комплексное число: $z_5 = -4 - 3i$.

Его модуль: $|z_5| = \sqrt{(-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

• Для точки $M_6(1; 0)$ имеем $a = 1$, $b = 0$.

Соответствующее комплексное число: $z_6 = 1 + 0i = 1$.

Его модуль: $|z_6| = \sqrt{1^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$.

• Для точки $M_7(0; -3)$ имеем $a = 0$, $b = -3$.

Соответствующее комплексное число: $z_7 = 0 - 3i = -3i$.

Его модуль: $|z_7| = \sqrt{0^2 + (-3)^2} = \sqrt{9} = 3$.

Ответ: $z_1 = -4 + 3i, |z_1|=5$; $z_2 = 5 + 4i, |z_2|=\sqrt{41}$; $z_3 = i, |z_3|=1$; $z_4 = 3 - 2i, |z_4|=\sqrt{13}$; $z_5 = -4 - 3i, |z_5|=5$; $z_6 = 1, |z_6|=1$; $z_7 = -3i, |z_7|=3$.

2) По условию даны $a = 2$ и $b = -3$. Необходимо найти комплексные числа, соответствующие точкам $M_8(a+1; b-1)$ и $M_9(a-3; b-2)$.

Сначала найдем координаты этих точек.

• Для точки $M_8(a+1; b-1)$:

Координата по оси абсцисс: $a+1 = 2+1 = 3$.

Координата по оси ординат: $b-1 = -3-1 = -4$.

Координаты точки $M_8$ равны $(3; -4)$.

Комплексное число, соответствующее этой точке: $z_8 = 3 - 4i$.

• Для точки $M_9(a-3; b-2)$:

Координата по оси абсцисс: $a-3 = 2-3 = -1$.

Координата по оси ординат: $b-2 = -3-2 = -5$.

Координаты точки $M_9$ равны $(-1; -5)$.

Комплексное число, соответствующее этой точке: $z_9 = -1 - 5i$.

Ответ: Для точки $M_8$ комплексное число $z_8 = 3 - 4i$; для точки $M_9$ комплексное число $z_9 = -1 - 5i$.