Номер 16.7, страница 134 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

16.7. Найдите модуль сопряженного комплексного числа к числу z:

1) $z = 2 - 5i;$

2) $z = -4 - 2i;$

3) $z = -\sqrt{5} + i\sqrt{3};$

4) $z = -2\sqrt{5} - i\sqrt{3};$

Для решения задачи воспользуемся свойством модуля комплексного числа: модуль сопряженного комплексного числа равен модулю самого числа, то есть $ |\bar{z}| = |z| $. Модуль комплексного числа $ z = a + bi $, где $a$ – действительная часть и $b$ – мнимая часть, вычисляется по формуле $ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} $.

1) Дано комплексное число $ z = 2 - 5i $.

Действительная часть $ a = 2 $, мнимая часть $ b = -5 $.

Комплексно сопряженное число к $z$ есть $ \bar{z} = 2 - (-5i) = 2 + 5i $. Его действительная часть равна $2$, а мнимая $5$.

Найдем модуль сопряженного числа:

$ |\bar{z}| = \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29} $.

Заметим, что модуль исходного числа также равен $ |z| = \sqrt{2^2 + (-5)^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29} $. Это подтверждает свойство $ |\bar{z}| = |z| $.

Ответ: $ \sqrt{29} $

2) Дано комплексное число $ z = -4 - 2i $.

Действительная часть $ a = -4 $, мнимая часть $ b = -2 $.

Используя свойство $ |\bar{z}| = |z| $, найдем модуль исходного числа:

$ |\bar{z}| = |z| = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5} $.

Ответ: $ 2\sqrt{5} $

3) Дано комплексное число $ z = -\sqrt{5} + i\sqrt{3} $.

Действительная часть $ a = -\sqrt{5} $, мнимая часть $ b = \sqrt{3} $.

Используя свойство $ |\bar{z}| = |z| $, найдем модуль исходного числа:

$ |\bar{z}| = |z| = \sqrt{(-\sqrt{5})^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{5 + 3} = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2} $.

Ответ: $ 2\sqrt{2} $

4) Дано комплексное число $ z = -2\sqrt{5} - i\sqrt{3} $.

Действительная часть $ a = -2\sqrt{5} $, мнимая часть $ b = -\sqrt{3} $.

Используя свойство $ |\bar{z}| = |z| $, найдем модуль исходного числа:

$ |\bar{z}| = |z| = \sqrt{(-2\sqrt{5})^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 \cdot 5 + 3} = \sqrt{20 + 3} = \sqrt{23} $.

Ответ: $ \sqrt{23} $