Номер 16.12, страница 135 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

16.12. Найдите значение модуля комплексного числа:

1) $\cos2\alpha - i\sin2\alpha;$

2) $1 + \cos2\alpha + i\sin2\alpha;$

3) $\sin4\alpha - (1 + \cos4\alpha)i;$

4) $\sin6\alpha - (1 - \cos6\alpha)i.$

1) Рассмотрим комплексное число $z = \cos(2\alpha) - i\sin(2\alpha)$.

Модуль комплексного числа $z = x + iy$ вычисляется по формуле $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

В данном случае действительная часть $x = \cos(2\alpha)$, а мнимая часть $y = -\sin(2\alpha)$.

Подставим эти значения в формулу модуля:

$|z| = \sqrt{(\cos(2\alpha))^2 + (-\sin(2\alpha))^2} = \sqrt{\cos^2(2\alpha) + \sin^2(2\alpha)}$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$, получаем:

$|z| = \sqrt{1} = 1$.

Ответ: $1$.

2) Рассмотрим комплексное число $z = 1 + \cos(2\alpha) + i\sin(2\alpha)$.

Действительная часть $x = 1 + \cos(2\alpha)$, мнимая часть $y = \sin(2\alpha)$.

Найдем квадрат модуля:

$|z|^2 = x^2 + y^2 = (1 + \cos(2\alpha))^2 + (\sin(2\alpha))^2$.

Раскроем скобки и упростим выражение:

$|z|^2 = 1 + 2\cos(2\alpha) + \cos^2(2\alpha) + \sin^2(2\alpha)$.

Применяя тождество $\cos^2(2\alpha) + \sin^2(2\alpha) = 1$, имеем:

$|z|^2 = 1 + 2\cos(2\alpha) + 1 = 2 + 2\cos(2\alpha) = 2(1 + \cos(2\alpha))$.

Теперь используем формулу косинуса двойного угла в виде $1 + \cos(2\alpha) = 2\cos^2(\alpha)$:

$|z|^2 = 2 \cdot 2\cos^2(\alpha) = 4\cos^2(\alpha)$.

Извлекая квадратный корень, находим модуль (модуль - величина неотрицательная):

$|z| = \sqrt{4\cos^2(\alpha)} = |2\cos(\alpha)| = 2|\cos(\alpha)|$.

Ответ: $2|\cos(\alpha)|$.

3) Рассмотрим комплексное число $z = \sin(4\alpha) - (1 + \cos(4\alpha))i$.

Действительная часть $x = \sin(4\alpha)$, мнимая часть $y = -(1 + \cos(4\alpha))$.

Найдем квадрат модуля:

$|z|^2 = x^2 + y^2 = (\sin(4\alpha))^2 + (-(1 + \cos(4\alpha)))^2 = \sin^2(4\alpha) + (1 + \cos(4\alpha))^2$.

Раскроем скобки:

$|z|^2 = \sin^2(4\alpha) + 1 + 2\cos(4\alpha) + \cos^2(4\alpha)$.

Используя тождество $\sin^2(4\alpha) + \cos^2(4\alpha) = 1$, получаем:

$|z|^2 = 1 + 1 + 2\cos(4\alpha) = 2(1 + \cos(4\alpha))$.

Применим формулу $1 + \cos(2\theta) = 2\cos^2(\theta)$ для $\theta=2\alpha$:

$|z|^2 = 2 \cdot 2\cos^2(2\alpha) = 4\cos^2(2\alpha)$.

Следовательно, модуль равен:

$|z| = \sqrt{4\cos^2(2\alpha)} = |2\cos(2\alpha)| = 2|\cos(2\alpha)|$.

Ответ: $2|\cos(2\alpha)|$.

4) Рассмотрим комплексное число $z = \sin(6\alpha) - (1 - \cos(6\alpha))i$.

Действительная часть $x = \sin(6\alpha)$, мнимая часть $y = -(1 - \cos(6\alpha))$.

Найдем квадрат модуля:

$|z|^2 = x^2 + y^2 = (\sin(6\alpha))^2 + (-(1 - \cos(6\alpha)))^2 = \sin^2(6\alpha) + (1 - \cos(6\alpha))^2$.

Раскроем скобки:

$|z|^2 = \sin^2(6\alpha) + 1 - 2\cos(6\alpha) + \cos^2(6\alpha)$.

Используя тождество $\sin^2(6\alpha) + \cos^2(6\alpha) = 1$, получаем:

$|z|^2 = 1 + 1 - 2\cos(6\alpha) = 2(1 - \cos(6\alpha))$.

Теперь используем формулу $1 - \cos(2\theta) = 2\sin^2(\theta)$ для $\theta=3\alpha$:

$|z|^2 = 2 \cdot 2\sin^2(3\alpha) = 4\sin^2(3\alpha)$.

Следовательно, модуль равен:

$|z| = \sqrt{4\sin^2(3\alpha)} = |2\sin(3\alpha)| = 2|\sin(3\alpha)|$.

Ответ: $2|\sin(3\alpha)|$.