Номер 16.15, страница 135 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

16.15. Найдите первообразную для функции $f(x)$:

1) $f(x) = x^3 - 2x + 2;$

2) $f(x) = \sin(1 - x);$

3) $f(x) = x + \cos(1 - 4x);$

4) $f(x) = 2 - \frac{1}{\cos^2 3x}. $

1) Чтобы найти первообразную для функции $f(x) = x^3 - 2x + 2$, мы воспользуемся правилами интегрирования. Первообразная суммы/разности функций равна сумме/разности их первообразных. Для степенной функции $x^n$ первообразная равна $\frac{x^{n+1}}{n+1}$.

$F(x) = \int (x^3 - 2x + 2) dx = \int x^3 dx - \int 2x dx + \int 2 dx$.

Находим каждую первообразную по отдельности:

Первообразная для $x^3$ равна $\frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{x^4}{4}$.

Первообразная для $2x$ равна $2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2$.

Первообразная для $2$ равна $2x$.

Собрав все вместе и добавив константу интегрирования $C$, получаем:

$F(x) = \frac{x^4}{4} - x^2 + 2x + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^4}{4} - x^2 + 2x + C$.

2) Для функции $f(x) = \sin(1 - x)$ нужно найти первообразную. Это интеграл от сложной функции. Воспользуемся формулой $\int \sin(kx+b)dx = -\frac{1}{k}\cos(kx+b) + C$.

В нашем случае, аргумент синуса равен $1-x$. Это можно представить как $kx+b$, где $k = -1$ и $b = 1$.

Подставляя эти значения в формулу, получаем:

$F(x) = \int \sin(1-x) dx = -\frac{1}{-1}\cos(1-x) + C = \cos(1-x) + C$.

Ответ: $F(x) = \cos(1 - x) + C$.

3) Найдём первообразную для функции $f(x) = x + \cos(1 - 4x)$. Для этого найдём первообразные для каждого слагаемого по отдельности.

Первообразная для $x$ равна $\frac{x^2}{2}$.

Для нахождения первообразной от $\cos(1 - 4x)$ используем формулу $\int \cos(kx+b)dx = \frac{1}{k}\sin(kx+b) + C$.

Здесь $k = -4$ и $b = 1$.

Следовательно, первообразная для $\cos(1 - 4x)$ равна $\frac{1}{-4}\sin(1 - 4x) = -\frac{1}{4}\sin(1 - 4x)$.

Суммируя результаты и добавляя константу $C$, получаем общую первообразную:

$F(x) = \frac{x^2}{2} - \frac{1}{4}\sin(1 - 4x) + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^2}{2} - \frac{1}{4}\sin(1 - 4x) + C$.

4) Найдём первообразную для функции $f(x) = 2 - \frac{1}{\cos^2(3x)}$. Найдём первообразные для уменьшаемого и вычитаемого.

Первообразная для константы $2$ равна $2x$.

Для нахождения первообразной от $\frac{1}{\cos^2(3x)}$ используем табличный интеграл $\int \frac{1}{\cos^2(x)}dx = \tan(x)$ и правило для сложной функции $\int g(kx+b)dx = \frac{1}{k}G(kx+b)$, где $G$ - первообразная для $g$.

Здесь $k=3$. Таким образом, первообразная для $\frac{1}{\cos^2(3x)}$ равна $\frac{1}{3}\tan(3x)$.

Вычитая вторую первообразную из первой и добавляя константу $C$, получаем:

$F(x) = 2x - \frac{1}{3}\tan(3x) + C$.

Ответ: $F(x) = 2x - \frac{1}{3}\tan(3x) + C$.