Номер 16.13, страница 135 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

16.13. На комплексной плоскости изобразите множество точек, для которых:

1) $|z| < 2;$

2) $|z - 4i| < 3;$

3) $|z - 2 - i| < 2;$

4) $\text{Re}z > -2;$

5) $\text{Im}z < 1;$

6) $\text{Im}z > -2.$

Для решения задачи представим комплексное число $z$ в алгебраической форме $z = x + iy$, где $x = \text{Re } z$ - действительная часть, а $y = \text{Im } z$ - мнимая часть. Комплексная плоскость - это декартова система координат, в которой по оси абсцисс откладывается действительная часть ($x$), а по оси ординат - мнимая часть ($y$).

1) $|z| < 2$

Модуль комплексного числа $z = x + iy$ определяется как $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Геометрически это расстояние от точки $z$ до начала координат $(0,0)$.

Неравенство $|z| < 2$ означает, что расстояние от точки $z$ до начала координат меньше 2. В координатной форме это записывается как: $\sqrt{x^2 + y^2} < 2$.

Возводя обе части в квадрат, получаем: $x^2 + y^2 < 2^2$.

Это неравенство задает все точки, расположенные внутри окружности с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R=2$. Поскольку неравенство строгое, граница (сама окружность) в множество не входит.

Ответ: Множество точек представляет собой открытый круг (внутренность круга) с центром в начале координат и радиусом 2.

2) $|z - 4i| < 3$

Выражение $|z_1 - z_2|$ представляет собой расстояние между точками $z_1$ и $z_2$ на комплексной плоскости. В данном случае неравенство $|z - 4i| < 3$ описывает все точки $z$, расстояние от которых до точки $z_0 = 4i$ меньше 3. Точка $z_0 = 4i$ имеет координаты $(0, 4)$.

Алгебраически, подставив $z = x + iy$: $|x + iy - 4i| < 3$ $|x + i(y - 4)| < 3$

По определению модуля: $\sqrt{x^2 + (y - 4)^2} < 3$

Возведем в квадрат: $x^2 + (y - 4)^2 < 3^2$.

Это неравенство задает внутренность круга с центром в точке $(0, 4)$ и радиусом $R=3$. Граница не включается.

Ответ: Множество точек - открытый круг с центром в точке $(0, 4)$ (соответствующей комплексному числу $4i$) и радиусом 3.

3) $|z - 2 - i| < 2$

Перепишем неравенство в виде $|z - (2 + i)| < 2$. Оно описывает все точки $z$, расстояние от которых до точки $z_0 = 2+i$ меньше 2. Точка $z_0 = 2+i$ имеет координаты $(2, 1)$.

Алгебраически, подставив $z = x + iy$: $|(x + iy) - (2 + i)| < 2$ $|(x - 2) + i(y - 1)| < 2$

По определению модуля: $\sqrt{(x - 2)^2 + (y - 1)^2} < 2$

Возведем в квадрат: $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 < 2^2$.

Это неравенство задает внутренность круга с центром в точке $(2, 1)$ и радиусом $R=2$. Граница не включается.

Ответ: Множество точек - открытый круг с центром в точке $(2, 1)$ (соответствующей комплексному числу $2+i$) и радиусом 2.

4) Re z > -2

Действительная часть комплексного числа $z = x + iy$ есть $\text{Re } z = x$.

Таким образом, неравенство принимает вид: $x > -2$.

На комплексной плоскости это неравенство задает все точки, у которых абсцисса $x$ больше -2. Геометрически это правая открытая полуплоскость, ограниченная вертикальной прямой $x = -2$. Прямая $x = -2$ не входит в множество, так как неравенство строгое.

Ответ: Множество точек - открытая полуплоскость, расположенная справа от прямой $x = -2$.

5) Im z < 1

Мнимая часть комплексного числа $z = x + iy$ есть $\text{Im } z = y$.

Таким образом, неравенство принимает вид: $y < 1$.

На комплексной плоскости это неравенство задает все точки, у которых ордината $y$ меньше 1. Геометрически это нижняя открытая полуплоскость, ограниченная горизонтальной прямой $y = 1$. Прямая $y = 1$ не входит в множество.

Ответ: Множество точек - открытая полуплоскость, расположенная ниже прямой $y = 1$.

6) Im z > -2

Мнимая часть комплексного числа $z = x + iy$ есть $\text{Im } z = y$.

Таким образом, неравенство принимает вид: $y > -2$.

На комплексной плоскости это неравенство задает все точки, у которых ордината $y$ больше -2. Геометрически это верхняя открытая полуплоскость, ограниченная горизонтальной прямой $y = -2$. Прямая $y = -2$ не входит в множество.

Ответ: Множество точек - открытая полуплоскость, расположенная выше прямой $y = -2$.