Номер 16.9, страница 134 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

16.9. На координатной плоскости заданы координаты точек $M(a; b)$ (рис. 53).

1) Запишите соответствующее им комплексное число $z$ и найдите его модуль.

2) Запишите комплексные числа, соответствующие точкам $M_8(a+1; b-1)$ и $M_9(a-3; b-2)$, если $a = 2$, $b = -3$.

Рис. 53

1) Каждой точке $M(a; b)$ на координатной плоскости соответствует комплексное число вида $z = a + bi$, где $a$ — действительная часть, а $b$ — мнимая часть. Модуль комплексного числа $z$ обозначается $|z|$ и вычисляется по формуле $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Рассмотрим каждую точку, указанную на рисунке:

• Для точки $M_1(-4; 3)$ имеем $a = -4$, $b = 3$.

Соответствующее комплексное число: $z_1 = -4 + 3i$.

Его модуль: $|z_1| = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

• Для точки $M_2(5; 4)$ имеем $a = 5$, $b = 4$.

Соответствующее комплексное число: $z_2 = 5 + 4i$.

Его модуль: $|z_2| = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41}$.

• Для точки $M_3(0; 1)$ имеем $a = 0$, $b = 1$.

Соответствующее комплексное число: $z_3 = 0 + 1i = i$.

Его модуль: $|z_3| = \sqrt{0^2 + 1^2} = \sqrt{1} = 1$.

• Для точки $M_4(3; -2)$ имеем $a = 3$, $b = -2$.

Соответствующее комплексное число: $z_4 = 3 - 2i$.

Его модуль: $|z_4| = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$.

• Для точки $M_5(-4; -3)$ имеем $a = -4$, $b = -3$.

Соответствующее комплексное число: $z_5 = -4 - 3i$.

Его модуль: $|z_5| = \sqrt{(-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

• Для точки $M_6(1; 0)$ имеем $a = 1$, $b = 0$.

Соответствующее комплексное число: $z_6 = 1 + 0i = 1$.

Его модуль: $|z_6| = \sqrt{1^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$.

• Для точки $M_7(0; -3)$ имеем $a = 0$, $b = -3$.

Соответствующее комплексное число: $z_7 = 0 - 3i = -3i$.

Его модуль: $|z_7| = \sqrt{0^2 + (-3)^2} = \sqrt{9} = 3$.

Ответ: $z_1 = -4 + 3i, |z_1|=5$; $z_2 = 5 + 4i, |z_2|=\sqrt{41}$; $z_3 = i, |z_3|=1$; $z_4 = 3 - 2i, |z_4|=\sqrt{13}$; $z_5 = -4 - 3i, |z_5|=5$; $z_6 = 1, |z_6|=1$; $z_7 = -3i, |z_7|=3$.

2) По условию даны $a = 2$ и $b = -3$. Необходимо найти комплексные числа, соответствующие точкам $M_8(a+1; b-1)$ и $M_9(a-3; b-2)$.

Сначала найдем координаты этих точек.

• Для точки $M_8(a+1; b-1)$:

Координата по оси абсцисс: $a+1 = 2+1 = 3$.

Координата по оси ординат: $b-1 = -3-1 = -4$.

Координаты точки $M_8$ равны $(3; -4)$.

Комплексное число, соответствующее этой точке: $z_8 = 3 - 4i$.

• Для точки $M_9(a-3; b-2)$:

Координата по оси абсцисс: $a-3 = 2-3 = -1$.

Координата по оси ординат: $b-2 = -3-2 = -5$.

Координаты точки $M_9$ равны $(-1; -5)$.

Комплексное число, соответствующее этой точке: $z_9 = -1 - 5i$.

Ответ: Для точки $M_8$ комплексное число $z_8 = 3 - 4i$; для точки $M_9$ комплексное число $z_9 = -1 - 5i$.