Номер 16.10, страница 135 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

16.10. Найдите модуль сопряженного комплексного числа $\bar{z}$ к числу $z$:

1) $z = 2 + \sqrt{2} - 3i;$

2) $z = -4 + \sqrt{5} - 2\sqrt{5}i;$

3) $z = -\frac{2}{3} + i\sqrt{3};$

4) $z = -\sqrt{2} - \frac{3-\sqrt{2}}{2}i.$

Модуль сопряженного комплексного числа $|\bar{z}|$ равен модулю самого комплексного числа $|z|$. Для любого комплексного числа $z = a + bi$, где $a$ и $b$ - действительные числа, сопряженное ему число есть $\bar{z} = a - bi$. Их модули вычисляются по формуле:

$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$

$|\bar{z}| = \sqrt{a^2 + (-b)^2} = \sqrt{a^2 + b^2}$

Следовательно, $|\bar{z}| = |z|$. Таким образом, задача сводится к нахождению модуля данного числа $z$.

1) $z = 2 + \sqrt{2} - 3i$

Представим число в стандартном виде $z = a + bi$. Действительная часть $a = 2 + \sqrt{2}$, мнимая часть $b = -3$.

Найдем модуль числа $z$:

$|\bar{z}| = |z| = \sqrt{(2 + \sqrt{2})^2 + (-3)^2} = \sqrt{(4 + 4\sqrt{2} + 2) + 9} = \sqrt{6 + 4\sqrt{2} + 9} = \sqrt{15 + 4\sqrt{2}}.$

Ответ: $\sqrt{15 + 4\sqrt{2}}$

2) $z = -4 + \sqrt{5} - 2\sqrt{5}i$

Действительная часть $a = -4 + \sqrt{5}$, мнимая часть $b = -2\sqrt{5}$.

Найдем модуль числа $z$:

$|\bar{z}| = |z| = \sqrt{(-4 + \sqrt{5})^2 + (-2\sqrt{5})^2} = \sqrt{(16 - 8\sqrt{5} + 5) + 20} = \sqrt{21 - 8\sqrt{5} + 20} = \sqrt{41 - 8\sqrt{5}}.$

Ответ: $\sqrt{41 - 8\sqrt{5}}$

3) $z = -\frac{2}{3} + i\sqrt{3}$

Действительная часть $a = -\frac{2}{3}$, мнимая часть $b = \sqrt{3}$.

Найдем модуль числа $z$:

$|\bar{z}| = |z| = \sqrt{\left(-\frac{2}{3}\right)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{\frac{4}{9} + 3} = \sqrt{\frac{4+27}{9}} = \sqrt{\frac{31}{9}} = \frac{\sqrt{31}}{3}.$

Ответ: $\frac{\sqrt{31}}{3}$

4) $z = -\sqrt{2} - \frac{3-\sqrt{2}}{2}i$

Действительная часть $a = -\sqrt{2}$, мнимая часть $b = -\frac{3-\sqrt{2}}{2}$.

Найдем модуль числа $z$:

$|\bar{z}| = |z| = \sqrt{(-\sqrt{2})^2 + \left(-\frac{3-\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{2 + \frac{(3-\sqrt{2})^2}{4}} = \sqrt{2 + \frac{9 - 6\sqrt{2} + 2}{4}}$

$= \sqrt{2 + \frac{11 - 6\sqrt{2}}{4}} = \sqrt{\frac{8 + 11 - 6\sqrt{2}}{4}} = \sqrt{\frac{19 - 6\sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{19 - 6\sqrt{2}}}{2}.$

Упростим выражение под корнем. Заметим, что $19 - 6\sqrt{2} = 18 - 2 \cdot 3\sqrt{2} + 1 = (3\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 1 + 1^2 = (3\sqrt{2} - 1)^2$.

Тогда $\sqrt{19 - 6\sqrt{2}} = \sqrt{(3\sqrt{2} - 1)^2} = 3\sqrt{2} - 1$, так как $3\sqrt{2} - 1 > 0$.

Следовательно, модуль равен:

$|\bar{z}| = \frac{3\sqrt{2} - 1}{2}.$

Ответ: $\frac{3\sqrt{2} - 1}{2}$