Страница 135 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

16.10. Найдите модуль сопряженного комплексного числа $\bar{z}$ к числу $z$:

1) $z = 2 + \sqrt{2} - 3i;$

2) $z = -4 + \sqrt{5} - 2\sqrt{5}i;$

3) $z = -\frac{2}{3} + i\sqrt{3};$

4) $z = -\sqrt{2} - \frac{3-\sqrt{2}}{2}i.$

Модуль сопряженного комплексного числа $|\bar{z}|$ равен модулю самого комплексного числа $|z|$. Для любого комплексного числа $z = a + bi$, где $a$ и $b$ - действительные числа, сопряженное ему число есть $\bar{z} = a - bi$. Их модули вычисляются по формуле:

$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$

$|\bar{z}| = \sqrt{a^2 + (-b)^2} = \sqrt{a^2 + b^2}$

Следовательно, $|\bar{z}| = |z|$. Таким образом, задача сводится к нахождению модуля данного числа $z$.

1) $z = 2 + \sqrt{2} - 3i$

Представим число в стандартном виде $z = a + bi$. Действительная часть $a = 2 + \sqrt{2}$, мнимая часть $b = -3$.

Найдем модуль числа $z$:

$|\bar{z}| = |z| = \sqrt{(2 + \sqrt{2})^2 + (-3)^2} = \sqrt{(4 + 4\sqrt{2} + 2) + 9} = \sqrt{6 + 4\sqrt{2} + 9} = \sqrt{15 + 4\sqrt{2}}.$

Ответ: $\sqrt{15 + 4\sqrt{2}}$

2) $z = -4 + \sqrt{5} - 2\sqrt{5}i$

Действительная часть $a = -4 + \sqrt{5}$, мнимая часть $b = -2\sqrt{5}$.

Найдем модуль числа $z$:

$|\bar{z}| = |z| = \sqrt{(-4 + \sqrt{5})^2 + (-2\sqrt{5})^2} = \sqrt{(16 - 8\sqrt{5} + 5) + 20} = \sqrt{21 - 8\sqrt{5} + 20} = \sqrt{41 - 8\sqrt{5}}.$

Ответ: $\sqrt{41 - 8\sqrt{5}}$

3) $z = -\frac{2}{3} + i\sqrt{3}$

Действительная часть $a = -\frac{2}{3}$, мнимая часть $b = \sqrt{3}$.

Найдем модуль числа $z$:

$|\bar{z}| = |z| = \sqrt{\left(-\frac{2}{3}\right)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{\frac{4}{9} + 3} = \sqrt{\frac{4+27}{9}} = \sqrt{\frac{31}{9}} = \frac{\sqrt{31}}{3}.$

Ответ: $\frac{\sqrt{31}}{3}$

4) $z = -\sqrt{2} - \frac{3-\sqrt{2}}{2}i$

Действительная часть $a = -\sqrt{2}$, мнимая часть $b = -\frac{3-\sqrt{2}}{2}$.

Найдем модуль числа $z$:

$|\bar{z}| = |z| = \sqrt{(-\sqrt{2})^2 + \left(-\frac{3-\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{2 + \frac{(3-\sqrt{2})^2}{4}} = \sqrt{2 + \frac{9 - 6\sqrt{2} + 2}{4}}$

$= \sqrt{2 + \frac{11 - 6\sqrt{2}}{4}} = \sqrt{\frac{8 + 11 - 6\sqrt{2}}{4}} = \sqrt{\frac{19 - 6\sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{19 - 6\sqrt{2}}}{2}.$

Упростим выражение под корнем. Заметим, что $19 - 6\sqrt{2} = 18 - 2 \cdot 3\sqrt{2} + 1 = (3\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 1 + 1^2 = (3\sqrt{2} - 1)^2$.

Тогда $\sqrt{19 - 6\sqrt{2}} = \sqrt{(3\sqrt{2} - 1)^2} = 3\sqrt{2} - 1$, так как $3\sqrt{2} - 1 > 0$.

Следовательно, модуль равен:

$|\bar{z}| = \frac{3\sqrt{2} - 1}{2}.$

Ответ: $\frac{3\sqrt{2} - 1}{2}$

16.11. При каких действительных значениях x и y комплексные числа будут сопряженными:

1) $24 - yi$ и $2x - 3\sqrt{5}i$;

2) $-8 + yi$ и $\sqrt{2x} - 4i$.

3) $3 + \sqrt{2}yi$ и $2x + (4 + \sqrt{2})i$;

4) $3 - \sqrt{3} - \sqrt{2}yi$ и $3x + 4i?

Два комплексных числа $z_1 = a + bi$ и $z_2 = c + di$ являются комплексно-сопряженными, если их действительные части равны ($a=c$), а мнимые части противоположны по знаку ($b=-d$). Используем это свойство для решения каждого пункта.

1) Даны комплексные числа $z_1 = 24 - yi$ и $z_2 = 2x - 3\sqrt{5}i$.

Действительная часть первого числа $Re(z_1) = 24$, мнимая часть $Im(z_1) = -y$.

Действительная часть второго числа $Re(z_2) = 2x$, мнимая часть $Im(z_2) = -3\sqrt{5}$.

Для того чтобы числа были сопряженными, должны выполняться условия:

1. $Re(z_1) = Re(z_2) \implies 24 = 2x$

2. $Im(z_1) = -Im(z_2) \implies -y = -(-3\sqrt{5})$

Из первого уравнения находим $x$:

$x = \frac{24}{2} = 12$.

Из второго уравнения находим $y$:

$-y = 3\sqrt{5} \implies y = -3\sqrt{5}$.

Таким образом, числа сопряжены при $x = 12$ и $y = -3\sqrt{5}$.

Ответ: $x = 12$, $y = -3\sqrt{5}$.

2) Даны комплексные числа $z_1 = -8 + yi$ и $z_2 = \sqrt{2x} - 4i$.

Действительная часть $Re(z_1) = -8$, мнимая часть $Im(z_1) = y$.

Действительная часть $Re(z_2) = \sqrt{2x}$, мнимая часть $Im(z_2) = -4$.

Условия сопряженности:

1. $Re(z_1) = Re(z_2) \implies -8 = \sqrt{2x}$

2. $Im(z_1) = -Im(z_2) \implies y = -(-4) = 4$

Рассмотрим первое уравнение. По определению, $x$ - действительное число. Арифметический квадратный корень $\sqrt{2x}$ определен для $2x \ge 0$, то есть $x \ge 0$. При этом значение корня всегда неотрицательно: $\sqrt{2x} \ge 0$. Уравнение $\sqrt{2x} = -8$ не имеет решений в действительных числах, так как неотрицательная величина не может равняться отрицательной.

Следовательно, не существует такого действительного значения $x$, при котором числа будут сопряженными.

Ответ: не существует таких действительных значений $x$ и $y$.

3) Даны комплексные числа $z_1 = 3 + \sqrt{2y}i$ и $z_2 = 2x + (4 + \sqrt{2})i$.

Действительная часть $Re(z_1) = 3$, мнимая часть $Im(z_1) = \sqrt{2y}$.

Действительная часть $Re(z_2) = 2x$, мнимая часть $Im(z_2) = 4 + \sqrt{2}$.

Условия сопряженности:

1. $Re(z_1) = Re(z_2) \implies 3 = 2x$

2. $Im(z_1) = -Im(z_2) \implies \sqrt{2y} = -(4 + \sqrt{2})$

Из первого уравнения $x = \frac{3}{2}$.

Рассмотрим второе уравнение. Правая часть $-(4 + \sqrt{2})$ является отрицательным числом. Левая часть $\sqrt{2y}$ (где $y$ - действительное число) по определению арифметического корня не может быть отрицательной. Следовательно, это уравнение не имеет решений в действительных числах.

Таким образом, не существует таких действительных значений $x$ и $y$, при которых числа будут сопряженными.

Ответ: не существует таких действительных значений $x$ и $y$.

4) Даны комплексные числа $z_1 = 3 - \sqrt{3} - \sqrt{2y}i$ и $z_2 = 3x + 4i$.

Выделим действительную и мнимую части первого числа:

$Re(z_1) = 3 - \sqrt{3}$, $Im(z_1) = -\sqrt{2y}$.

Для второго числа:

$Re(z_2) = 3x$, $Im(z_2) = 4$.

Условия сопряженности:

1. $Re(z_1) = Re(z_2) \implies 3 - \sqrt{3} = 3x$

2. $Im(z_1) = -Im(z_2) \implies -\sqrt{2y} = -4$

Из первого уравнения находим $x$:

$x = \frac{3 - \sqrt{3}}{3} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Из второго уравнения находим $y$:

$\sqrt{2y} = 4$

Возведя обе части в квадрат, получим:

$2y = 16 \implies y = 8$.

Данное значение $y$ удовлетворяет области определения корня ($2y \ge 0$).

Таким образом, числа сопряжены при $x = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$ и $y = 8$.

Ответ: $x = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$, $y = 8$.

16.12. Найдите значение модуля комплексного числа:

1) $\cos2\alpha - i\sin2\alpha;$

2) $1 + \cos2\alpha + i\sin2\alpha;$

3) $\sin4\alpha - (1 + \cos4\alpha)i;$

4) $\sin6\alpha - (1 - \cos6\alpha)i.$

1) Рассмотрим комплексное число $z = \cos(2\alpha) - i\sin(2\alpha)$.

Модуль комплексного числа $z = x + iy$ вычисляется по формуле $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

В данном случае действительная часть $x = \cos(2\alpha)$, а мнимая часть $y = -\sin(2\alpha)$.

Подставим эти значения в формулу модуля:

$|z| = \sqrt{(\cos(2\alpha))^2 + (-\sin(2\alpha))^2} = \sqrt{\cos^2(2\alpha) + \sin^2(2\alpha)}$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$, получаем:

$|z| = \sqrt{1} = 1$.

Ответ: $1$.

2) Рассмотрим комплексное число $z = 1 + \cos(2\alpha) + i\sin(2\alpha)$.

Действительная часть $x = 1 + \cos(2\alpha)$, мнимая часть $y = \sin(2\alpha)$.

Найдем квадрат модуля:

$|z|^2 = x^2 + y^2 = (1 + \cos(2\alpha))^2 + (\sin(2\alpha))^2$.

Раскроем скобки и упростим выражение:

$|z|^2 = 1 + 2\cos(2\alpha) + \cos^2(2\alpha) + \sin^2(2\alpha)$.

Применяя тождество $\cos^2(2\alpha) + \sin^2(2\alpha) = 1$, имеем:

$|z|^2 = 1 + 2\cos(2\alpha) + 1 = 2 + 2\cos(2\alpha) = 2(1 + \cos(2\alpha))$.

Теперь используем формулу косинуса двойного угла в виде $1 + \cos(2\alpha) = 2\cos^2(\alpha)$:

$|z|^2 = 2 \cdot 2\cos^2(\alpha) = 4\cos^2(\alpha)$.

Извлекая квадратный корень, находим модуль (модуль - величина неотрицательная):

$|z| = \sqrt{4\cos^2(\alpha)} = |2\cos(\alpha)| = 2|\cos(\alpha)|$.

Ответ: $2|\cos(\alpha)|$.

3) Рассмотрим комплексное число $z = \sin(4\alpha) - (1 + \cos(4\alpha))i$.

Действительная часть $x = \sin(4\alpha)$, мнимая часть $y = -(1 + \cos(4\alpha))$.

Найдем квадрат модуля:

$|z|^2 = x^2 + y^2 = (\sin(4\alpha))^2 + (-(1 + \cos(4\alpha)))^2 = \sin^2(4\alpha) + (1 + \cos(4\alpha))^2$.

Раскроем скобки:

$|z|^2 = \sin^2(4\alpha) + 1 + 2\cos(4\alpha) + \cos^2(4\alpha)$.

Используя тождество $\sin^2(4\alpha) + \cos^2(4\alpha) = 1$, получаем:

$|z|^2 = 1 + 1 + 2\cos(4\alpha) = 2(1 + \cos(4\alpha))$.

Применим формулу $1 + \cos(2\theta) = 2\cos^2(\theta)$ для $\theta=2\alpha$:

$|z|^2 = 2 \cdot 2\cos^2(2\alpha) = 4\cos^2(2\alpha)$.

Следовательно, модуль равен:

$|z| = \sqrt{4\cos^2(2\alpha)} = |2\cos(2\alpha)| = 2|\cos(2\alpha)|$.

Ответ: $2|\cos(2\alpha)|$.

4) Рассмотрим комплексное число $z = \sin(6\alpha) - (1 - \cos(6\alpha))i$.

Действительная часть $x = \sin(6\alpha)$, мнимая часть $y = -(1 - \cos(6\alpha))$.

Найдем квадрат модуля:

$|z|^2 = x^2 + y^2 = (\sin(6\alpha))^2 + (-(1 - \cos(6\alpha)))^2 = \sin^2(6\alpha) + (1 - \cos(6\alpha))^2$.

Раскроем скобки:

$|z|^2 = \sin^2(6\alpha) + 1 - 2\cos(6\alpha) + \cos^2(6\alpha)$.

Используя тождество $\sin^2(6\alpha) + \cos^2(6\alpha) = 1$, получаем:

$|z|^2 = 1 + 1 - 2\cos(6\alpha) = 2(1 - \cos(6\alpha))$.

Теперь используем формулу $1 - \cos(2\theta) = 2\sin^2(\theta)$ для $\theta=3\alpha$:

$|z|^2 = 2 \cdot 2\sin^2(3\alpha) = 4\sin^2(3\alpha)$.

Следовательно, модуль равен:

$|z| = \sqrt{4\sin^2(3\alpha)} = |2\sin(3\alpha)| = 2|\sin(3\alpha)|$.

Ответ: $2|\sin(3\alpha)|$.

16.13. На комплексной плоскости изобразите множество точек, для которых:

1) $|z| < 2;$

2) $|z - 4i| < 3;$

3) $|z - 2 - i| < 2;$

4) $\text{Re}z > -2;$

5) $\text{Im}z < 1;$

6) $\text{Im}z > -2.$

Для решения задачи представим комплексное число $z$ в алгебраической форме $z = x + iy$, где $x = \text{Re } z$ - действительная часть, а $y = \text{Im } z$ - мнимая часть. Комплексная плоскость - это декартова система координат, в которой по оси абсцисс откладывается действительная часть ($x$), а по оси ординат - мнимая часть ($y$).

1) $|z| < 2$

Модуль комплексного числа $z = x + iy$ определяется как $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Геометрически это расстояние от точки $z$ до начала координат $(0,0)$.

Неравенство $|z| < 2$ означает, что расстояние от точки $z$ до начала координат меньше 2. В координатной форме это записывается как: $\sqrt{x^2 + y^2} < 2$.

Возводя обе части в квадрат, получаем: $x^2 + y^2 < 2^2$.

Это неравенство задает все точки, расположенные внутри окружности с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R=2$. Поскольку неравенство строгое, граница (сама окружность) в множество не входит.

Ответ: Множество точек представляет собой открытый круг (внутренность круга) с центром в начале координат и радиусом 2.

2) $|z - 4i| < 3$

Выражение $|z_1 - z_2|$ представляет собой расстояние между точками $z_1$ и $z_2$ на комплексной плоскости. В данном случае неравенство $|z - 4i| < 3$ описывает все точки $z$, расстояние от которых до точки $z_0 = 4i$ меньше 3. Точка $z_0 = 4i$ имеет координаты $(0, 4)$.

Алгебраически, подставив $z = x + iy$: $|x + iy - 4i| < 3$ $|x + i(y - 4)| < 3$

По определению модуля: $\sqrt{x^2 + (y - 4)^2} < 3$

Возведем в квадрат: $x^2 + (y - 4)^2 < 3^2$.

Это неравенство задает внутренность круга с центром в точке $(0, 4)$ и радиусом $R=3$. Граница не включается.

Ответ: Множество точек - открытый круг с центром в точке $(0, 4)$ (соответствующей комплексному числу $4i$) и радиусом 3.

3) $|z - 2 - i| < 2$

Перепишем неравенство в виде $|z - (2 + i)| < 2$. Оно описывает все точки $z$, расстояние от которых до точки $z_0 = 2+i$ меньше 2. Точка $z_0 = 2+i$ имеет координаты $(2, 1)$.

Алгебраически, подставив $z = x + iy$: $|(x + iy) - (2 + i)| < 2$ $|(x - 2) + i(y - 1)| < 2$

По определению модуля: $\sqrt{(x - 2)^2 + (y - 1)^2} < 2$

Возведем в квадрат: $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 < 2^2$.

Это неравенство задает внутренность круга с центром в точке $(2, 1)$ и радиусом $R=2$. Граница не включается.

Ответ: Множество точек - открытый круг с центром в точке $(2, 1)$ (соответствующей комплексному числу $2+i$) и радиусом 2.

4) Re z > -2

Действительная часть комплексного числа $z = x + iy$ есть $\text{Re } z = x$.

Таким образом, неравенство принимает вид: $x > -2$.

На комплексной плоскости это неравенство задает все точки, у которых абсцисса $x$ больше -2. Геометрически это правая открытая полуплоскость, ограниченная вертикальной прямой $x = -2$. Прямая $x = -2$ не входит в множество, так как неравенство строгое.

Ответ: Множество точек - открытая полуплоскость, расположенная справа от прямой $x = -2$.

5) Im z < 1

Мнимая часть комплексного числа $z = x + iy$ есть $\text{Im } z = y$.

Таким образом, неравенство принимает вид: $y < 1$.

На комплексной плоскости это неравенство задает все точки, у которых ордината $y$ меньше 1. Геометрически это нижняя открытая полуплоскость, ограниченная горизонтальной прямой $y = 1$. Прямая $y = 1$ не входит в множество.

Ответ: Множество точек - открытая полуплоскость, расположенная ниже прямой $y = 1$.

6) Im z > -2

Мнимая часть комплексного числа $z = x + iy$ есть $\text{Im } z = y$.

Таким образом, неравенство принимает вид: $y > -2$.

На комплексной плоскости это неравенство задает все точки, у которых ордината $y$ больше -2. Геометрически это верхняя открытая полуплоскость, ограниченная горизонтальной прямой $y = -2$. Прямая $y = -2$ не входит в множество.

Ответ: Множество точек - открытая полуплоскость, расположенная выше прямой $y = -2$.

16.14. Область внутренности круга, изображенного на рисунке 54, запишите в виде неравенства:

1) $(x-3)^2 + y^2 < 4$

2) $(x-3)^2 + (y-2)^2 < 4$

Рис. 54

1)

Чтобы записать неравенство, которое задает область внутренности круга, нам необходимо определить координаты его центра $(x_0, y_0)$ и его радиус $R$. Общее неравенство для внутренности круга имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 < R^2$.

Из рисунка 1) мы видим, что центр круга находится в точке с координатами $(3, 0)$. Таким образом, $x_0 = 3$ и $y_0 = 0$.

Радиус $R$ – это расстояние от центра до любой точки на окружности. Например, расстояние от центра $(3, 0)$ до точки $(5, 0)$ на окружности равно $R = 5 - 3 = 2$.

Теперь подставим найденные значения в формулу неравенства:

$(x - 3)^2 + (y - 0)^2 < 2^2$

Упростив выражение, получаем итоговое неравенство:

$(x - 3)^2 + y^2 < 4$

Ответ: $(x - 3)^2 + y^2 < 4$

2)

Действуем аналогично для круга, изображенного на рисунке 2).

Центр этого круга находится в точке с координатами $(3, 2)$, следовательно, $x_0 = 3$ и $y_0 = 2$.

Радиус $R$ можно определить как расстояние от центра $(3, 2)$ до точки на окружности, например, до точки $(3, 4)$. Это расстояние равно $R = 4 - 2 = 2$.

Подставляем координаты центра и радиус в общую формулу неравенства для внутренности круга:

$(x - 3)^2 + (y - 2)^2 < 2^2$

Возводим радиус в квадрат и получаем окончательное неравенство:

$(x - 3)^2 + (y - 2)^2 < 4$

Ответ: $(x - 3)^2 + (y - 2)^2 < 4$

16.15. Найдите первообразную для функции $f(x)$:

1) $f(x) = x^3 - 2x + 2;$

2) $f(x) = \sin(1 - x);$

3) $f(x) = x + \cos(1 - 4x);$

4) $f(x) = 2 - \frac{1}{\cos^2 3x}. $

1) Чтобы найти первообразную для функции $f(x) = x^3 - 2x + 2$, мы воспользуемся правилами интегрирования. Первообразная суммы/разности функций равна сумме/разности их первообразных. Для степенной функции $x^n$ первообразная равна $\frac{x^{n+1}}{n+1}$.

$F(x) = \int (x^3 - 2x + 2) dx = \int x^3 dx - \int 2x dx + \int 2 dx$.

Находим каждую первообразную по отдельности:

Первообразная для $x^3$ равна $\frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{x^4}{4}$.

Первообразная для $2x$ равна $2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2$.

Первообразная для $2$ равна $2x$.

Собрав все вместе и добавив константу интегрирования $C$, получаем:

$F(x) = \frac{x^4}{4} - x^2 + 2x + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^4}{4} - x^2 + 2x + C$.

2) Для функции $f(x) = \sin(1 - x)$ нужно найти первообразную. Это интеграл от сложной функции. Воспользуемся формулой $\int \sin(kx+b)dx = -\frac{1}{k}\cos(kx+b) + C$.

В нашем случае, аргумент синуса равен $1-x$. Это можно представить как $kx+b$, где $k = -1$ и $b = 1$.

Подставляя эти значения в формулу, получаем:

$F(x) = \int \sin(1-x) dx = -\frac{1}{-1}\cos(1-x) + C = \cos(1-x) + C$.

Ответ: $F(x) = \cos(1 - x) + C$.

3) Найдём первообразную для функции $f(x) = x + \cos(1 - 4x)$. Для этого найдём первообразные для каждого слагаемого по отдельности.

Первообразная для $x$ равна $\frac{x^2}{2}$.

Для нахождения первообразной от $\cos(1 - 4x)$ используем формулу $\int \cos(kx+b)dx = \frac{1}{k}\sin(kx+b) + C$.

Здесь $k = -4$ и $b = 1$.

Следовательно, первообразная для $\cos(1 - 4x)$ равна $\frac{1}{-4}\sin(1 - 4x) = -\frac{1}{4}\sin(1 - 4x)$.

Суммируя результаты и добавляя константу $C$, получаем общую первообразную:

$F(x) = \frac{x^2}{2} - \frac{1}{4}\sin(1 - 4x) + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^2}{2} - \frac{1}{4}\sin(1 - 4x) + C$.

4) Найдём первообразную для функции $f(x) = 2 - \frac{1}{\cos^2(3x)}$. Найдём первообразные для уменьшаемого и вычитаемого.

Первообразная для константы $2$ равна $2x$.

Для нахождения первообразной от $\frac{1}{\cos^2(3x)}$ используем табличный интеграл $\int \frac{1}{\cos^2(x)}dx = \tan(x)$ и правило для сложной функции $\int g(kx+b)dx = \frac{1}{k}G(kx+b)$, где $G$ - первообразная для $g$.

Здесь $k=3$. Таким образом, первообразная для $\frac{1}{\cos^2(3x)}$ равна $\frac{1}{3}\tan(3x)$.

Вычитая вторую первообразную из первой и добавляя константу $C$, получаем:

$F(x) = 2x - \frac{1}{3}\tan(3x) + C$.

Ответ: $F(x) = 2x - \frac{1}{3}\tan(3x) + C$.

16.16. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

1) $f(x) = 3 - x^2$ и $f(x) = 1 + |x|$;

2) $f(x) = x^2$ и $f(x) = 2 - |x|$.

1) Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций $f(x) = 3 - x^2$ и $g(x) = 1 + |x|$, сначала найдем точки их пересечения. Для этого решим уравнение $f(x) = g(x)$: $3 - x^2 = 1 + |x|$. Обе функции являются четными, так как $f(-x) = 3 - (-x)^2 = 3 - x^2 = f(x)$ и $g(-x) = 1 + |-x| = 1 + |x| = g(x)$. Это означает, что фигура симметрична относительно оси OY. Мы можем найти точки пересечения для $x \ge 0$ и использовать симметрию. При $x \ge 0$ уравнение принимает вид $3 - x^2 = 1 + x$, или $x^2 + x - 2 = 0$. Корнями этого квадратного уравнения являются $x = 1$ и $x = -2$. Так как мы рассматриваем случай $x \ge 0$, нам подходит только корень $x = 1$. В силу симметрии, вторая точка пересечения будет при $x = -1$. Таким образом, графики пересекаются в точках с абсциссами $x = -1$ и $x = 1$. Чтобы определить, какая функция находится выше на интервале $(-1, 1)$, подставим в обе функции значение $x=0$: $f(0) = 3 - 0^2 = 3$ и $g(0) = 1 + |0| = 1$. Так как $f(0) > g(0)$, функция $f(x)$ является верхней. Площадь фигуры вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций: $S = \int_{-1}^{1} (f(x) - g(x)) dx = \int_{-1}^{1} ((3 - x^2) - (1 + |x|)) dx = \int_{-1}^{1} (2 - x^2 - |x|) dx$. Так как подынтегральная функция $2 - x^2 - |x|$ является четной, мы можем упростить вычисление: $S = 2 \int_{0}^{1} (2 - x^2 - x) dx$. Вычисляем интеграл: $S = 2 \left[ 2x - \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = 2 \left( (2 \cdot 1 - \frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2}) - 0 \right) = 2 \left( 2 - \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \right) = 2 \left( \frac{12 - 2 - 3}{6} \right) = 2 \left( \frac{7}{6} \right) = \frac{7}{3}$.

Ответ: $\frac{7}{3}$.

2) Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций $f(x) = x^2$ и $g(x) = 2 - |x|$, найдем точки их пересечения из уравнения $f(x) = g(x)$: $x^2 = 2 - |x|$. Обе функции, $f(x)$ и $g(x)$, являются четными, поэтому фигура симметрична относительно оси OY. Решим уравнение для $x \ge 0$, где $|x| = x$: $x^2 = 2 - x$, что равносильно $x^2 + x - 2 = 0$. Корни этого уравнения: $x = 1$ и $x = -2$. Условию $x \ge 0$ удовлетворяет только $x = 1$. В силу симметрии, вторая точка пересечения имеет абсциссу $x = -1$. Пределы интегрирования — от -1 до 1. Определим, какая из функций находится выше на этом интервале. Возьмем $x=0$: $f(0) = 0^2 = 0$ и $g(0) = 2 - |0| = 2$. Так как $g(0) > f(0)$, функция $g(x)$ является верхней. Площадь фигуры $S$ равна: $S = \int_{-1}^{1} (g(x) - f(x)) dx = \int_{-1}^{1} ((2 - |x|) - x^2) dx = \int_{-1}^{1} (2 - x^2 - |x|) dx$. Подынтегральная функция $2 - x^2 - |x|$ является четной, поэтому можно вычислить интеграл на отрезке $[0, 1]$ и удвоить результат: $S = 2 \int_{0}^{1} (2 - x - x^2) dx$. Вычисляем интеграл: $S = 2 \left[ 2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = 2 \left( (2 \cdot 1 - \frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3}) - 0 \right) = 2 \left( 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) = 2 \left( \frac{12 - 3 - 2}{6} \right) = 2 \left( \frac{7}{6} \right) = \frac{7}{3}$.

Ответ: $\frac{7}{3}$.

16.17. Решите неравенство $f'(x) > 0;$

1) $f(x) = 2\cos3x + 3x;$

2) $f(x) = -x^3 + 12x + 1.$

1) Дана функция $f(x) = 2\cos(3x) + 3x$.

Для решения неравенства $f'(x) > 0$ сначала найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования сложной функции и правило дифференцирования суммы:

$f'(x) = (2\cos(3x) + 3x)' = (2\cos(3x))' + (3x)'$

$(2\cos(3x))' = 2 \cdot (-\sin(3x)) \cdot (3x)' = 2 \cdot (-\sin(3x)) \cdot 3 = -6\sin(3x)$

$(3x)' = 3$

Следовательно, производная равна:

$f'(x) = -6\sin(3x) + 3$

Теперь решим неравенство $f'(x) > 0$:

$-6\sin(3x) + 3 > 0$

Перенесем $6\sin(3x)$ в правую часть:

$3 > 6\sin(3x)$

Разделим обе части на 6:

$\frac{3}{6} > \sin(3x)$

$\sin(3x) < \frac{1}{2}$

Для решения этого тригонометрического неравенства введем замену $t = 3x$. Неравенство примет вид $\sin(t) < \frac{1}{2}$.

На единичной окружности синус равен $1/2$ в точках, соответствующих углам $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{5\pi}{6}$. Синус (ордината точки на окружности) будет меньше $1/2$ для углов, находящихся в интервале от $\frac{5\pi}{6}$ до $\frac{\pi}{6}$ следующего оборота, то есть до $2\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{13\pi}{6}$.

Таким образом, общее решение для $t$ имеет вид:

$\frac{5\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{13\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Произведем обратную замену $t = 3x$:

$\frac{5\pi}{6} + 2\pi n < 3x < \frac{13\pi}{6} + 2\pi n$

Чтобы найти $x$, разделим все части неравенства на 3:

$\frac{5\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} < x < \frac{13\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in \left(\frac{5\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}; \frac{13\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}\right), n \in \mathbb{Z}$.

2) Дана функция $f(x) = -x^3 + 12x + 1$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования степенной функции:

$f'(x) = (-x^3 + 12x + 1)' = -3x^2 + 12$.

Теперь решим неравенство $f'(x) > 0$:

$-3x^2 + 12 > 0$

Перенесем 12 в правую часть:

$-3x^2 > -12$

Разделим обе части на -3, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$x^2 < 4$

Данное неравенство можно переписать как $x^2 - 4 < 0$. Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:

$(x-2)(x+2) < 0$

Решим это квадратичное неравенство методом интервалов. Корни уравнения $(x-2)(x+2) = 0$ равны $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; 2)$ и $(2; +\infty)$.

Проверим знак выражения $(x-2)(x+2)$ в каждом интервале:

• При $x < -2$ (например, $x=-3$): $(-3-2)(-3+2) = (-5)(-1) = 5 > 0$.
• При $-2 < x < 2$ (например, $x=0$): $(0-2)(0+2) = (-2)(2) = -4 < 0$.
• При $x > 2$ (например, $x=3$): $(3-2)(3+2) = (1)(5) = 5 > 0$.

Неравенство выполняется на интервале, где выражение отрицательно.

Следовательно, решением является интервал $(-2; 2)$.

Ответ: $x \in (-2; 2)$.