Страница 141 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

17.8. Найдите действительные числа x и y так, чтобы выполнялось равенство:
1) $(x + 3i)(2 - i) = 3x + 3yi;$
2) $(1 - yi)(5 + 2i) = 3x - 2yi;$
3) $(3 + i)x + y (2 - i)^2 = 3 - 2i;$
4) $(2 + 3i)^2 - 5yi = 5x - 3xyi.$

1) Раскроем скобки в левой части уравнения $(x + 3i)(2 - i) = 3x + 3yi$:

$x(2) - x(i) + 3i(2) - 3i(i) = 2x - xi + 6i - 3i^2$

Так как $i^2 = -1$, получаем:

$2x - xi + 6i + 3 = (2x + 3) + (6 - x)i$

Теперь приравняем полученное выражение к правой части исходного уравнения:

$(2x + 3) + (6 - x)i = 3x + 3yi$

Два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части. Составим систему уравнений:

$\begin{cases} 2x + 3 = 3x \\ 6 - x = 3y \end{cases}$

Из первого уравнения находим $x$:

$3x - 2x = 3$

$x = 3$

Подставим значение $x$ во второе уравнение, чтобы найти $y$:

$6 - 3 = 3y$

$3 = 3y$

$y = 1$

Ответ: $x = 3, y = 1$.

2) Раскроем скобки в левой части уравнения $(1 - yi)(5 + 2i) = 3x - 2yi$:

$1(5) + 1(2i) - yi(5) - yi(2i) = 5 + 2i - 5yi - 2yi^2$

Заменяя $i^2$ на $-1$, получаем:

$5 + 2i - 5yi + 2y = (5 + 2y) + (2 - 5y)i$

Приравняем левую и правую части:

$(5 + 2y) + (2 - 5y)i = 3x - 2yi$

Приравниваем действительные и мнимые части и составляем систему:

$\begin{cases} 5 + 2y = 3x \\ 2 - 5y = -2y \end{cases}$

Из второго уравнения находим $y$:

$2 = -2y + 5y$

$2 = 3y$

$y = \frac{2}{3}$

Подставим значение $y$ в первое уравнение, чтобы найти $x$:

$5 + 2(\frac{2}{3}) = 3x$

$5 + \frac{4}{3} = 3x$

$\frac{15}{3} + \frac{4}{3} = 3x$

$\frac{19}{3} = 3x$

$x = \frac{19}{9}$

Ответ: $x = \frac{19}{9}, y = \frac{2}{3}$.

3) Преобразуем левую часть уравнения $(3 + i)x + y(2 - i)^2 = 3 - 2i$.

Сначала раскроем квадрат $(2 - i)^2$:

$(2 - i)^2 = 2^2 - 2(2)(i) + i^2 = 4 - 4i - 1 = 3 - 4i$

Теперь подставим это в уравнение:

$(3 + i)x + y(3 - 4i) = 3 - 2i$

Раскроем скобки:

$3x + xi + 3y - 4yi = 3 - 2i$

Сгруппируем действительные и мнимые части:

$(3x + 3y) + (x - 4y)i = 3 - 2i$

Составим систему уравнений, приравняв действительные и мнимые части:

$\begin{cases} 3x + 3y = 3 \\ x - 4y = -2 \end{cases}$

Упростим первое уравнение, разделив обе части на 3:

$x + y = 1 \implies x = 1 - y$

Подставим выражение для $x$ во второе уравнение:

$(1 - y) - 4y = -2$

$1 - 5y = -2$

$3 = 5y$

$y = \frac{3}{5}$

Теперь найдем $x$:

$x = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$

Ответ: $x = \frac{2}{5}, y = \frac{3}{5}$.

4) Преобразуем левую часть уравнения $(2 + 3i)^2 - 5yi = 5x - 3xyi$.

Раскроем квадрат $(2 + 3i)^2$:

$(2 + 3i)^2 = 2^2 + 2(2)(3i) + (3i)^2 = 4 + 12i + 9i^2 = 4 + 12i - 9 = -5 + 12i$

Подставим это в уравнение:

$(-5 + 12i) - 5yi = 5x - 3xyi$

Сгруппируем действительные и мнимые части в левой части:

$-5 + (12 - 5y)i = 5x - 3xyi$

Составим систему, приравняв действительные и мнимые части:

$\begin{cases} -5 = 5x \\ 12 - 5y = -3xy \end{cases}$

Из первого уравнения находим $x$:

$x = \frac{-5}{5} = -1$

Подставим значение $x$ во второе уравнение:

$12 - 5y = -3(-1)y$

$12 - 5y = 3y$

$12 = 3y + 5y$

$12 = 8y$

$y = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$

Ответ: $x = -1, y = \frac{3}{2}$.

17.9. Выполните действия над комплексными числами:

1) $(2 + i)^4 + (2 - i)^4 - i^{18} + \frac{3-i}{2+i}$;

2) $(1 - i)^2 - (2 + i)^3 - 2(3 + 32i) - (2i)^5$;

3) $(3 + i)^3 + (2 - i)^2 - (2i)^6$;

4) $3(1 - 5i) + (2 + i)^4 - 5i^{15}$.

1) $(2 + i)^4 + (2 - i)^4 - i^{18} + \frac{3-i}{2+i}$

Разложим решение на несколько шагов, вычисляя каждый член выражения по отдельности.

1. Вычислим $(2 + i)^4$ и $(2 - i)^4$. Заметим, что числа $2+i$ и $2-i$ являются комплексно-сопряженными. Сумма их одинаковых степеней будет действительным числом.Сначала найдем $(2 + i)^2$:

$(2 + i)^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot i + i^2 = 4 + 4i - 1 = 3 + 4i$.

Теперь возведем результат в квадрат, чтобы получить четвертую степень:

$(2 + i)^4 = (3 + 4i)^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot 4i + (4i)^2 = 9 + 24i + 16i^2 = 9 + 24i - 16 = -7 + 24i$.

Для $(2 - i)^4$ можно проделать те же операции или просто взять комплексно-сопряженное от результата для $(2 + i)^4$:

$(2 - i)^4 = \overline{-7 + 24i} = -7 - 24i$.

Сумма этих двух членов равна:

$(-7 + 24i) + (-7 - 24i) = -14$.

2. Вычислим $i^{18}$. Степени мнимой единицы $i$ цикличны с периодом 4 ($i^1=i, i^2=-1, i^3=-i, i^4=1$).

$i^{18} = i^{4 \cdot 4 + 2} = (i^4)^4 \cdot i^2 = 1^4 \cdot (-1) = -1$.

3. Вычислим дробь $\frac{3-i}{2+i}$. Для этого умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, то есть на $2-i$:

$\frac{3-i}{2+i} = \frac{(3-i)(2-i)}{(2+i)(2-i)} = \frac{3 \cdot 2 - 3i - 2i + i^2}{2^2 - i^2} = \frac{6 - 5i - 1}{4 - (-1)} = \frac{5 - 5i}{5} = 1 - i$.

4. Теперь подставим все найденные значения в исходное выражение:

$(2 + i)^4 + (2 - i)^4 - i^{18} + \frac{3-i}{2+i} = -14 - (-1) + (1 - i) = -14 + 1 + 1 - i = -12 - i$.

Ответ: $-12 - i$

2) $(1 - i)^4 - (2 + i)^3 - 2(3 + 32i) - (2i)^5$

Вычислим каждый член выражения.

1. Вычислим $(1 - i)^4$.

Сначала найдем $(1 - i)^2$:

$(1 - i)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i$.

Теперь возведем в квадрат:

$(1 - i)^4 = (-2i)^2 = 4i^2 = -4$.

2. Вычислим $(2 + i)^3$. Используем формулу куба суммы $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$:

$(2 + i)^3 = 2^3 + 3 \cdot 2^2 \cdot i + 3 \cdot 2 \cdot i^2 + i^3 = 8 + 12i + 6(-1) + (-i) = 8 + 12i - 6 - i = 2 + 11i$.

3. Вычислим $2(3 + 32i)$:

$2(3 + 32i) = 6 + 64i$.

4. Вычислим $(2i)^5$:

$(2i)^5 = 2^5 \cdot i^5 = 32 \cdot i^{4+1} = 32 \cdot i = 32i$.

5. Подставим все значения в выражение:

$(1 - i)^4 - (2 + i)^3 - 2(3 + 32i) - (2i)^5 = -4 - (2 + 11i) - (6 + 64i) - 32i = -4 - 2 - 11i - 6 - 64i - 32i$.

Сгруппируем действительные и мнимые части:

$(-4 - 2 - 6) + (-11 - 64 - 32)i = -12 - 107i$.

Ответ: $-12 - 107i$

3) $(3 + i)^3 + (2 - i)^2 - (2i)^6$

Вычислим каждый член выражения.

1. Вычислим $(3 + i)^3$ по формуле куба суммы:

$(3 + i)^3 = 3^3 + 3 \cdot 3^2 \cdot i + 3 \cdot 3 \cdot i^2 + i^3 = 27 + 27i + 9(-1) + (-i) = 27 + 27i - 9 - i = 18 + 26i$.

2. Вычислим $(2 - i)^2$ по формуле квадрата разности:

$(2 - i)^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot i + i^2 = 4 - 4i - 1 = 3 - 4i$.

3. Вычислим $(2i)^6$:

$(2i)^6 = 2^6 \cdot i^6 = 64 \cdot i^{4+2} = 64 \cdot i^2 = 64(-1) = -64$.

4. Подставим все значения в выражение:

$(3 + i)^3 + (2 - i)^2 - (2i)^6 = (18 + 26i) + (3 - 4i) - (-64) = 18 + 26i + 3 - 4i + 64$.

Сгруппируем действительные и мнимые части:

$(18 + 3 + 64) + (26 - 4)i = 85 + 22i$.

Ответ: $85 + 22i$

4) $3(1 - 5i) + (2 + i)^4 - 5i^{15}$

Вычислим каждый член выражения.

1. Вычислим $3(1 - 5i)$:

$3(1 - 5i) = 3 - 15i$.

2. Вычислим $(2 + i)^4$. Этот член был уже вычислен в задаче 1):

$(2 + i)^4 = -7 + 24i$.

3. Вычислим $5i^{15}$.

$i^{15} = i^{4 \cdot 3 + 3} = (i^4)^3 \cdot i^3 = 1^3 \cdot (-i) = -i$.

$5i^{15} = 5(-i) = -5i$.

4. Подставим все значения в выражение:

$3(1 - 5i) + (2 + i)^4 - 5i^{15} = (3 - 15i) + (-7 + 24i) - (-5i) = 3 - 15i - 7 + 24i + 5i$.

Сгруппируем действительные и мнимые части:

$(3 - 7) + (-15 + 24 + 5)i = -4 + 14i$.

Ответ: $-4 + 14i$

17.10. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y = \cos 2x, y = 0, x = - \frac{\pi}{3}, x = \frac{\pi}{3}$

Площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y=f(x)$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле определенного интеграла:

$S = \int_{a}^{b} |f(x)| \,dx$

В данном случае $f(x) = \cos(2x)$, $a = -\frac{\pi}{3}$, $b = \frac{\pi}{3}$. Таким образом, искомая площадь равна:

$S = \int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}} |\cos(2x)| \,dx$

Для того чтобы раскрыть модуль, определим знаки функции $y = \cos(2x)$ на отрезке $[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}]$. Найдем нули функции на этом отрезке, решив уравнение $\cos(2x) = 0$:

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$

При $k=0$ получаем $x = \frac{\pi}{4}$, что принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}]$.

При $k=-1$ получаем $x = -\frac{\pi}{4}$, что также принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}]$.

Эти точки разбивают отрезок интегрирования на три промежутка. Определим знак $\cos(2x)$ на каждом из них:

1. На промежутке $[-\frac{\pi}{3}, -\frac{\pi}{4}]$, $2x \in [-\frac{2\pi}{3}, -\frac{\pi}{2}]$, следовательно, $\cos(2x) \le 0$, и $|\cos(2x)| = -\cos(2x)$.

2. На промежутке $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$, $2x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, следовательно, $\cos(2x) \ge 0$, и $|\cos(2x)| = \cos(2x)$.

3. На промежутке $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}]$, $2x \in [\frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}]$, следовательно, $\cos(2x) \le 0$, и $|\cos(2x)| = -\cos(2x)$.

Таким образом, интеграл можно представить в виде суммы трех интегралов:

$S = \int_{-\frac{\pi}{3}}^{-\frac{\pi}{4}} (-\cos(2x)) \,dx + \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \cos(2x) \,dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} (-\cos(2x)) \,dx$

Заметим, что подынтегральная функция $y = |\cos(2x)|$ является четной, а пределы интегрирования симметричны относительно нуля. Это позволяет упростить вычисления, удвоив интеграл по положительной части отрезка:

$S = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} |\cos(2x)| \,dx = 2 \left( \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos(2x) \,dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} (-\cos(2x)) \,dx \right)$

Вычислим интегралы. Первообразная для функции $\cos(2x)$ равна $\frac{1}{2}\sin(2x)$.

$S = 2 \left( \left[ \frac{1}{2}\sin(2x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} - \left[ \frac{1}{2}\sin(2x) \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \right)$

$S = 2 \left( \left( \frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) - \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 0) \right) - \left( \frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{\pi}{3}) - \frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) \right) \right)$

$S = 2 \left( \left( \frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{2}) - \frac{1}{2}\sin(0) \right) - \left( \frac{1}{2}\sin(\frac{2\pi}{3}) - \frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{2}) \right) \right)$

$S = 2 \left( \left( \frac{1}{2} \cdot 1 - 0 \right) - \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 \right) \right)$

$S = 2 \left( \frac{1}{2} - \left( \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{2} \right) \right) = 2 \left( \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2} \right) = 2 \left( 1 - \frac{\sqrt{3}}{4} \right) = 2 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $2 - \frac{\sqrt{3}}{2}$.

17.11. Найдите значение интеграла, преобразуя подынтегральную функцию:

1) $$\int_0^{\frac{\pi}{4}} (1-2\cos^2 x) dx;$$

2) $$\int_0^{\frac{\pi}{2}} 2\sin x \cos 3x dx;$$

3) $$\int_0^{\frac{\pi}{2}} 10\sin\left(\frac{\pi}{12}-x\right)\cos\left(\frac{\pi}{12}-x\right) dx;$$

4) $$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \left(\cos^2\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-\sin^2\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\right) dx.$$

1) Преобразуем подынтегральную функцию, используя формулу косинуса двойного угла $cos(2\alpha) = 2cos^2\alpha - 1$. Отсюда $1 - 2cos^2x = -(2cos^2x - 1) = -cos(2x)$.

Теперь интеграл имеет вид:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (1-2cos^2x)dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} -cos(2x)dx$

Найдем первообразную для функции $-cos(2x)$. Это будет $-\frac{1}{2}sin(2x)$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} -cos(2x)dx = \left[-\frac{1}{2}sin(2x)\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \left(-\frac{1}{2}sin(2 \cdot \frac{\pi}{4})\right) - \left(-\frac{1}{2}sin(2 \cdot 0)\right) = -\frac{1}{2}sin(\frac{\pi}{2}) + \frac{1}{2}sin(0) = -\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$

2) Преобразуем подынтегральную функцию, используя формулу преобразования произведения тригонометрических функций в сумму: $2sin\alpha cos\beta = sin(\alpha+\beta) + sin(\alpha-\beta)$.

В нашем случае $\alpha=x$, $\beta=3x$.

$2sin(x)cos(3x) = sin(x+3x) + sin(x-3x) = sin(4x) + sin(-2x) = sin(4x) - sin(2x)$.

Интеграл принимает вид:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (sin(4x) - sin(2x))dx$

Найдем первообразную: $\int (sin(4x) - sin(2x))dx = -\frac{1}{4}cos(4x) - (-\frac{1}{2}cos(2x)) = -\frac{1}{4}cos(4x) + \frac{1}{2}cos(2x)$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\left[-\frac{1}{4}cos(4x) + \frac{1}{2}cos(2x)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \left(-\frac{1}{4}cos(4 \cdot \frac{\pi}{2}) + \frac{1}{2}cos(2 \cdot \frac{\pi}{2})\right) - \left(-\frac{1}{4}cos(0) + \frac{1}{2}cos(0)\right)$

$= \left(-\frac{1}{4}cos(2\pi) + \frac{1}{2}cos(\pi)\right) - \left(-\frac{1}{4} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 1\right) = \left(-\frac{1}{4} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (-1)\right) - \frac{1}{4} = -\frac{1}{4} - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = -\frac{3}{4} - \frac{1}{4} = -1$.

Ответ: $-1$

3) Преобразуем подынтегральную функцию, используя формулу синуса двойного угла: $sin(2\alpha) = 2sin\alpha cos\alpha$.

$10sin(\frac{\pi}{12}-x)cos(\frac{\pi}{12}-x) = 5 \cdot 2sin(\frac{\pi}{12}-x)cos(\frac{\pi}{12}-x) = 5sin(2(\frac{\pi}{12}-x)) = 5sin(\frac{\pi}{6}-2x)$.

Интеграл принимает вид:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 5sin(\frac{\pi}{6}-2x)dx$

Найдем первообразную: $\int 5sin(\frac{\pi}{6}-2x)dx = 5 \cdot \frac{1}{-2}(-\cos(\frac{\pi}{6}-2x)) = \frac{5}{2}\cos(\frac{\pi}{6}-2x)$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\left[\frac{5}{2}\cos(\frac{\pi}{6}-2x)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \left(\frac{5}{2}\cos(\frac{\pi}{6}-2 \cdot \frac{\pi}{2})\right) - \left(\frac{5}{2}\cos(\frac{\pi}{6}-0)\right)$

$= \frac{5}{2}\cos(\frac{\pi}{6}-\pi) - \frac{5}{2}\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{5}{2}\cos(-\frac{5\pi}{6}) - \frac{5}{2}\cos(\frac{\pi}{6})$

Так как $cos(-\alpha)=cos(\alpha)$, $cos(\frac{5\pi}{6})=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $cos(\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}$:

$= \frac{5}{2}(-\frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{5}{2}(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{5\sqrt{3}}{4} - \frac{5\sqrt{3}}{4} = -\frac{10\sqrt{3}}{4} = -\frac{5\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $-\frac{5\sqrt{3}}{2}$

4) Преобразуем подынтегральную функцию, используя формулу косинуса двойного угла: $cos(2\alpha) = cos^2\alpha - sin^2\alpha$.

В нашем случае $\alpha=x+\frac{\pi}{6}$.

$cos^2(x+\frac{\pi}{6})

17.12. Используя метод интегрирования по частям, найдите неопределенный интеграл:

1) $ \int(2x - 3)\cos(2x)dx; $

2) $ \int(x^2 + 2x)\sin(x)dx. $

1) Для нахождения неопределенного интеграла $∫(2x - 3)cos(2x)dx$ используем метод интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям: $∫u dv = uv - ∫v du$.

В качестве $u$ выберем многочлен, а в качестве $dv$ — тригонометрическую функцию.

Пусть $u = 2x - 3$. Тогда найдем ее дифференциал: $du = (2x - 3)'dx = 2dx$.

Пусть $dv = cos(2x)dx$. Тогда найдем $v$ путем интегрирования: $v = ∫cos(2x)dx = \frac{1}{2}sin(2x)$.

Теперь подставим полученные значения в формулу интегрирования по частям:

$∫(2x - 3)cos(2x)dx = (2x - 3) \cdot \frac{1}{2}sin(2x) - ∫\frac{1}{2}sin(2x) \cdot 2dx$

Упростим выражение:

$\frac{1}{2}(2x - 3)sin(2x) - ∫sin(2x)dx$

Найдем оставшийся интеграл:

$∫sin(2x)dx = -\frac{1}{2}cos(2x)$

Подставим результат обратно в выражение и добавим константу интегрирования $C$:

$\frac{1}{2}(2x - 3)sin(2x) - (-\frac{1}{2}cos(2x)) + C = \frac{1}{2}(2x - 3)sin(2x) + \frac{1}{2}cos(2x) + C$

Ответ: $\frac{1}{2}(2x - 3)sin(2x) + \frac{1}{2}cos(2x) + C$.

2) Для нахождения неопределенного интеграла $∫(x^2 + 2x)sin(x)dx$ также используем метод интегрирования по частям: $∫u dv = uv - ∫v du$. Поскольку под знаком интеграла стоит произведение многочлена второй степени на тригонометрическую функцию, метод придется применить дважды.

Первое применение интегрирования по частям:

Пусть $u = x^2 + 2x$. Тогда $du = (2x + 2)dx$.

Пусть $dv = sin(x)dx$. Тогда $v = ∫sin(x)dx = -cos(x)$.

Подставляем в формулу:

$∫(x^2 + 2x)sin(x)dx = (x^2 + 2x)(-cos(x)) - ∫(-cos(x))(2x + 2)dx$

$= -(x^2 + 2x)cos(x) + ∫(2x + 2)cos(x)dx$

Второе применение интегрирования по частям (для интеграла $∫(2x + 2)cos(x)dx$):

Пусть $u_1 = 2x + 2$. Тогда $du_1 = 2dx$.

Пусть $dv_1 = cos(x)dx$. Тогда $v_1 = ∫cos(x)dx = sin(x)$.

Подставляем в формулу:

$∫(2x + 2)cos(x)dx = (2x + 2)sin(x) - ∫sin(x) \cdot 2dx = (2x + 2)sin(x) - 2∫sin(x)dx$

$= (2x + 2)sin(x) - 2(-cos(x)) = (2x + 2)sin(x) + 2cos(x)$

Теперь подставим результат второго интегрирования в выражение, полученное после первого шага:

$∫(x^2 + 2x)sin(x)dx = -(x^2 + 2x)cos(x) + ((2x + 2)sin(x) + 2cos(x)) + C$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:

$-x^2cos(x) - 2xcos(x) + (2x + 2)sin(x) + 2cos(x) + C$

$= (2x + 2)sin(x) + (-x^2 - 2x + 2)cos(x) + C$

$= (2x + 2)sin(x) - (x^2 + 2x - 2)cos(x) + C$

Ответ: $(2x + 2)sin(x) - (x^2 + 2x - 2)cos(x) + C$.