Номер 17.9, страница 141 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

17.9. Выполните действия над комплексными числами:

1) $(2 + i)^4 + (2 - i)^4 - i^{18} + \frac{3-i}{2+i}$;

2) $(1 - i)^2 - (2 + i)^3 - 2(3 + 32i) - (2i)^5$;

3) $(3 + i)^3 + (2 - i)^2 - (2i)^6$;

4) $3(1 - 5i) + (2 + i)^4 - 5i^{15}$.

1) $(2 + i)^4 + (2 - i)^4 - i^{18} + \frac{3-i}{2+i}$

Разложим решение на несколько шагов, вычисляя каждый член выражения по отдельности.

1. Вычислим $(2 + i)^4$ и $(2 - i)^4$. Заметим, что числа $2+i$ и $2-i$ являются комплексно-сопряженными. Сумма их одинаковых степеней будет действительным числом.Сначала найдем $(2 + i)^2$:

$(2 + i)^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot i + i^2 = 4 + 4i - 1 = 3 + 4i$.

Теперь возведем результат в квадрат, чтобы получить четвертую степень:

$(2 + i)^4 = (3 + 4i)^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot 4i + (4i)^2 = 9 + 24i + 16i^2 = 9 + 24i - 16 = -7 + 24i$.

Для $(2 - i)^4$ можно проделать те же операции или просто взять комплексно-сопряженное от результата для $(2 + i)^4$:

$(2 - i)^4 = \overline{-7 + 24i} = -7 - 24i$.

Сумма этих двух членов равна:

$(-7 + 24i) + (-7 - 24i) = -14$.

2. Вычислим $i^{18}$. Степени мнимой единицы $i$ цикличны с периодом 4 ($i^1=i, i^2=-1, i^3=-i, i^4=1$).

$i^{18} = i^{4 \cdot 4 + 2} = (i^4)^4 \cdot i^2 = 1^4 \cdot (-1) = -1$.

3. Вычислим дробь $\frac{3-i}{2+i}$. Для этого умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, то есть на $2-i$:

$\frac{3-i}{2+i} = \frac{(3-i)(2-i)}{(2+i)(2-i)} = \frac{3 \cdot 2 - 3i - 2i + i^2}{2^2 - i^2} = \frac{6 - 5i - 1}{4 - (-1)} = \frac{5 - 5i}{5} = 1 - i$.

4. Теперь подставим все найденные значения в исходное выражение:

$(2 + i)^4 + (2 - i)^4 - i^{18} + \frac{3-i}{2+i} = -14 - (-1) + (1 - i) = -14 + 1 + 1 - i = -12 - i$.

Ответ: $-12 - i$

2) $(1 - i)^4 - (2 + i)^3 - 2(3 + 32i) - (2i)^5$

Вычислим каждый член выражения.

1. Вычислим $(1 - i)^4$.

Сначала найдем $(1 - i)^2$:

$(1 - i)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i$.

Теперь возведем в квадрат:

$(1 - i)^4 = (-2i)^2 = 4i^2 = -4$.

2. Вычислим $(2 + i)^3$. Используем формулу куба суммы $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$:

$(2 + i)^3 = 2^3 + 3 \cdot 2^2 \cdot i + 3 \cdot 2 \cdot i^2 + i^3 = 8 + 12i + 6(-1) + (-i) = 8 + 12i - 6 - i = 2 + 11i$.

3. Вычислим $2(3 + 32i)$:

$2(3 + 32i) = 6 + 64i$.

4. Вычислим $(2i)^5$:

$(2i)^5 = 2^5 \cdot i^5 = 32 \cdot i^{4+1} = 32 \cdot i = 32i$.

5. Подставим все значения в выражение:

$(1 - i)^4 - (2 + i)^3 - 2(3 + 32i) - (2i)^5 = -4 - (2 + 11i) - (6 + 64i) - 32i = -4 - 2 - 11i - 6 - 64i - 32i$.

Сгруппируем действительные и мнимые части:

$(-4 - 2 - 6) + (-11 - 64 - 32)i = -12 - 107i$.

Ответ: $-12 - 107i$

3) $(3 + i)^3 + (2 - i)^2 - (2i)^6$

Вычислим каждый член выражения.

1. Вычислим $(3 + i)^3$ по формуле куба суммы:

$(3 + i)^3 = 3^3 + 3 \cdot 3^2 \cdot i + 3 \cdot 3 \cdot i^2 + i^3 = 27 + 27i + 9(-1) + (-i) = 27 + 27i - 9 - i = 18 + 26i$.

2. Вычислим $(2 - i)^2$ по формуле квадрата разности:

$(2 - i)^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot i + i^2 = 4 - 4i - 1 = 3 - 4i$.

3. Вычислим $(2i)^6$:

$(2i)^6 = 2^6 \cdot i^6 = 64 \cdot i^{4+2} = 64 \cdot i^2 = 64(-1) = -64$.

4. Подставим все значения в выражение:

$(3 + i)^3 + (2 - i)^2 - (2i)^6 = (18 + 26i) + (3 - 4i) - (-64) = 18 + 26i + 3 - 4i + 64$.

Сгруппируем действительные и мнимые части:

$(18 + 3 + 64) + (26 - 4)i = 85 + 22i$.

Ответ: $85 + 22i$

4) $3(1 - 5i) + (2 + i)^4 - 5i^{15}$

Вычислим каждый член выражения.

1. Вычислим $3(1 - 5i)$:

$3(1 - 5i) = 3 - 15i$.

2. Вычислим $(2 + i)^4$. Этот член был уже вычислен в задаче 1):

$(2 + i)^4 = -7 + 24i$.

3. Вычислим $5i^{15}$.

$i^{15} = i^{4 \cdot 3 + 3} = (i^4)^3 \cdot i^3 = 1^3 \cdot (-i) = -i$.

$5i^{15} = 5(-i) = -5i$.

4. Подставим все значения в выражение:

$3(1 - 5i) + (2 + i)^4 - 5i^{15} = (3 - 15i) + (-7 + 24i) - (-5i) = 3 - 15i - 7 + 24i + 5i$.

Сгруппируем действительные и мнимые части:

$(3 - 7) + (-15 + 24 + 5)i = -4 + 14i$.

Ответ: $-4 + 14i$