Номер 17.6, страница 140 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

17.6. Выполните действия:

1) $\sqrt{-7-24i}$;

2) $\sqrt{24+70i}$;

3) $\sqrt{1+i\sqrt{3}}$;

4) $\sqrt{2-i\sqrt{2}}$;

5) $\sqrt{16i}$;

6) $\sqrt{-24i}$;

1) Чтобы найти $\sqrt{-7-24i}$, предположим, что $\sqrt{-7-24i} = x+yi$, где $x$ и $y$ – действительные числа. Возведя обе части в квадрат, получим $(x+yi)^2 = -7-24i$, или $x^2 - y^2 + 2xyi = -7-24i$. Приравнивая действительные и мнимые части, получаем систему уравнений:$x^2 - y^2 = -7$$2xy = -24$Также, мы можем приравнять модули: $|x+yi|^2 = |-7-24i|$, что дает $x^2 + y^2 = \sqrt{(-7)^2 + (-24)^2} = \sqrt{49+576} = \sqrt{625} = 25$.Теперь у нас есть система для $x^2$ и $y^2$:$\begin{cases} x^2 - y^2 = -7 \\ x^2 + y^2 = 25 \end{cases}$Складывая эти два уравнения, получаем $2x^2 = 18$, откуда $x^2 = 9$ и $x = \pm 3$.Вычитая первое уравнение из второго, получаем $2y^2 = 32$, откуда $y^2 = 16$ и $y = \pm 4$.Из уравнения $2xy = -24$ следует, что произведение $xy$ отрицательно, значит $x$ и $y$ имеют разные знаки.Следовательно, возможные пары $(x, y)$ это $(3, -4)$ и $(-3, 4)$.Таким образом, квадратные корни из $-7-24i$ это $3-4i$ и $-3+4i$.Ответ: $\pm(3-4i)$.

2) Чтобы найти $\sqrt{24+70i}$, пусть $\sqrt{24+70i} = x+yi$. Тогда $x^2 - y^2 + 2xyi = 24+70i$.Система уравнений:$x^2 - y^2 = 24$$2xy = 70$Модуль числа $24+70i$ равен $\sqrt{24^2 + 70^2} = \sqrt{576+4900} = \sqrt{5476} = 74$. Значит, $x^2+y^2=74$.Решаем систему:$\begin{cases} x^2 - y^2 = 24 \\ x^2 + y^2 = 74 \end{cases}$Складывая уравнения, получаем $2x^2 = 98$, откуда $x^2 = 49$ и $x = \pm 7$.Вычитая первое уравнение из второго, получаем $2y^2 = 50$, откуда $y^2 = 25$ и $y = \pm 5$.Из уравнения $2xy = 70$ следует, что произведение $xy$ положительно, значит $x$ и $y$ имеют одинаковые знаки.Следовательно, возможные пары $(x, y)$ это $(7, 5)$ и $(-7, -5)$.Таким образом, квадратные корни из $24+70i$ это $7+5i$ и $-7-5i$.Ответ: $\pm(7+5i)$.

3) Чтобы найти $\sqrt{1+i\sqrt{3}}$, пусть $\sqrt{1+i\sqrt{3}} = x+yi$. Тогда $x^2 - y^2 + 2xyi = 1+i\sqrt{3}$.Система уравнений:$x^2 - y^2 = 1$$2xy = \sqrt{3}$Модуль числа $1+i\sqrt{3}$ равен $\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$. Значит, $x^2+y^2=2$.Решаем систему:$\begin{cases} x^2 - y^2 = 1 \\ x^2 + y^2 = 2 \end{cases}$Складывая уравнения, получаем $2x^2 = 3$, откуда $x^2 = \frac{3}{2}$ и $x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}} = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$.Вычитая первое уравнение из второго, получаем $2y^2 = 1$, откуда $y^2 = \frac{1}{2}$ и $y = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.Из уравнения $2xy = \sqrt{3}$ следует, что произведение $xy$ положительно, значит $x$ и $y$ имеют одинаковые знаки.Следовательно, корни: $\frac{\sqrt{6}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $-\frac{\sqrt{6}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$.Ответ: $\pm\left(\frac{\sqrt{6}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

4) Чтобы найти $\sqrt{2-i\sqrt{2}}$, пусть $\sqrt{2-i\sqrt{2}} = x+yi$. Тогда $x^2 - y^2 + 2xyi = 2-i\sqrt{2}$.Система уравнений:$x^2 - y^2 = 2$$2xy = -\sqrt{2}$Модуль числа $2-i\sqrt{2}$ равен $\sqrt{2^2 + (-\sqrt{2})^2} = \sqrt{4+2} = \sqrt{6}$. Значит, $x^2+y^2=\sqrt{6}$.Решаем систему:$\begin{cases} x^2 - y^2 = 2 \\ x^2 + y^2 = \sqrt{6} \end{cases}$Складывая уравнения, получаем $2x^2 = 2+\sqrt{6}$, откуда $x^2 = \frac{2+\sqrt{6}}{2}$ и $x = \pm \sqrt{\frac{2+\sqrt{6}}{2}}$.Вычитая первое уравнение из второго, получаем $2y^2 = \sqrt{6}-2$, откуда $y^2 = \frac{\sqrt{6}-2}{2}$ и $y = \pm \sqrt{\frac{\sqrt{6}-2}{2}}$.Из уравнения $2xy = -\sqrt{2}$ следует, что произведение $xy$ отрицательно, значит $x$ и $y$ имеют разные знаки.Следовательно, корни: $\sqrt{\frac{2+\sqrt{6}}{2}} - i\sqrt{\frac{\sqrt{6}-2}{2}}$ и $-\sqrt{\frac{2+\sqrt{6}}{2}} + i\sqrt{\frac{\sqrt{6}-2}{2}}$.Ответ: $\pm\left(\sqrt{\frac{2+\sqrt{6}}{2}} - i\sqrt{\frac{\sqrt{6}-2}{2}}\right)$.

5) Чтобы найти $\sqrt{16i}$, пусть $\sqrt{16i} = x+yi$. Тогда $x^2 - y^2 + 2xyi = 16i$.Система уравнений:$x^2 - y^2 = 0$$2xy = 16$Модуль числа $16i$ равен $\sqrt{0^2 + 16^2} = 16$. Значит, $x^2+y^2=16$.Решаем систему:$\begin{cases} x^2 - y^2 = 0 \\ x^2 + y^2 = 16 \end{cases}$Складывая уравнения, получаем $2x^2 = 16$, откуда $x^2 = 8$ и $x = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$.Из первого уравнения $x^2=y^2$, так что $y = \pm x$.Из уравнения $2xy = 16$ следует, что произведение $xy$ положительно, значит $x$ и $y$ имеют одинаковые знаки.Следовательно, если $x = 2\sqrt{2}$, то $y=2\sqrt{2}$, а если $x=-2\sqrt{2}$, то $y=-2\sqrt{2}$.Корни: $2\sqrt{2} + 2i\sqrt{2}$ и $-2\sqrt{2} - 2i\sqrt{2}$.Ответ: $\pm(2\sqrt{2}+2i\sqrt{2})$.

6) Чтобы найти $\sqrt{-24i}$, пусть $\sqrt{-24i} = x+yi$. Тогда $x^2 - y^2 + 2xyi = -24i$.Система уравнений:$x^2 - y^2 = 0$$2xy = -24$Модуль числа $-24i$ равен $\sqrt{0^2 + (-24)^2} = 24$. Значит, $x^2+y^2=24$.Решаем систему:$\begin{cases} x^2 - y^2 = 0 \\ x^2 + y^2 = 24 \end{cases}$Складывая уравнения, получаем $2x^2 = 24$, откуда $x^2 = 12$ и $x = \pm \sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}$.Из первого уравнения $x^2=y^2$, так что $y = \pm x$.Из уравнения $2xy = -24$ следует, что произведение $xy$ отрицательно, значит $x$ и $y$ имеют разные знаки.Следовательно, если $x = 2\sqrt{3}$, то $y=-2\sqrt{3}$, а если $x=-2\sqrt{3}$, то $y=2\sqrt{3}$.Корни: $2\sqrt{3} - 2i\sqrt{3}$ и $-2\sqrt{3} + 2i\sqrt{3}$.Ответ: $\pm(2\sqrt{3}-2i\sqrt{3})$.