Номер 17.8, страница 141 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

17.8. Найдите действительные числа x и y так, чтобы выполнялось равенство:
1) $(x + 3i)(2 - i) = 3x + 3yi;$
2) $(1 - yi)(5 + 2i) = 3x - 2yi;$
3) $(3 + i)x + y (2 - i)^2 = 3 - 2i;$
4) $(2 + 3i)^2 - 5yi = 5x - 3xyi.$

1) Раскроем скобки в левой части уравнения $(x + 3i)(2 - i) = 3x + 3yi$:

$x(2) - x(i) + 3i(2) - 3i(i) = 2x - xi + 6i - 3i^2$

Так как $i^2 = -1$, получаем:

$2x - xi + 6i + 3 = (2x + 3) + (6 - x)i$

Теперь приравняем полученное выражение к правой части исходного уравнения:

$(2x + 3) + (6 - x)i = 3x + 3yi$

Два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части. Составим систему уравнений:

$\begin{cases} 2x + 3 = 3x \\ 6 - x = 3y \end{cases}$

Из первого уравнения находим $x$:

$3x - 2x = 3$

$x = 3$

Подставим значение $x$ во второе уравнение, чтобы найти $y$:

$6 - 3 = 3y$

$3 = 3y$

$y = 1$

Ответ: $x = 3, y = 1$.

2) Раскроем скобки в левой части уравнения $(1 - yi)(5 + 2i) = 3x - 2yi$:

$1(5) + 1(2i) - yi(5) - yi(2i) = 5 + 2i - 5yi - 2yi^2$

Заменяя $i^2$ на $-1$, получаем:

$5 + 2i - 5yi + 2y = (5 + 2y) + (2 - 5y)i$

Приравняем левую и правую части:

$(5 + 2y) + (2 - 5y)i = 3x - 2yi$

Приравниваем действительные и мнимые части и составляем систему:

$\begin{cases} 5 + 2y = 3x \\ 2 - 5y = -2y \end{cases}$

Из второго уравнения находим $y$:

$2 = -2y + 5y$

$2 = 3y$

$y = \frac{2}{3}$

Подставим значение $y$ в первое уравнение, чтобы найти $x$:

$5 + 2(\frac{2}{3}) = 3x$

$5 + \frac{4}{3} = 3x$

$\frac{15}{3} + \frac{4}{3} = 3x$

$\frac{19}{3} = 3x$

$x = \frac{19}{9}$

Ответ: $x = \frac{19}{9}, y = \frac{2}{3}$.

3) Преобразуем левую часть уравнения $(3 + i)x + y(2 - i)^2 = 3 - 2i$.

Сначала раскроем квадрат $(2 - i)^2$:

$(2 - i)^2 = 2^2 - 2(2)(i) + i^2 = 4 - 4i - 1 = 3 - 4i$

Теперь подставим это в уравнение:

$(3 + i)x + y(3 - 4i) = 3 - 2i$

Раскроем скобки:

$3x + xi + 3y - 4yi = 3 - 2i$

Сгруппируем действительные и мнимые части:

$(3x + 3y) + (x - 4y)i = 3 - 2i$

Составим систему уравнений, приравняв действительные и мнимые части:

$\begin{cases} 3x + 3y = 3 \\ x - 4y = -2 \end{cases}$

Упростим первое уравнение, разделив обе части на 3:

$x + y = 1 \implies x = 1 - y$

Подставим выражение для $x$ во второе уравнение:

$(1 - y) - 4y = -2$

$1 - 5y = -2$

$3 = 5y$

$y = \frac{3}{5}$

Теперь найдем $x$:

$x = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$

Ответ: $x = \frac{2}{5}, y = \frac{3}{5}$.

4) Преобразуем левую часть уравнения $(2 + 3i)^2 - 5yi = 5x - 3xyi$.

Раскроем квадрат $(2 + 3i)^2$:

$(2 + 3i)^2 = 2^2 + 2(2)(3i) + (3i)^2 = 4 + 12i + 9i^2 = 4 + 12i - 9 = -5 + 12i$

Подставим это в уравнение:

$(-5 + 12i) - 5yi = 5x - 3xyi$

Сгруппируем действительные и мнимые части в левой части:

$-5 + (12 - 5y)i = 5x - 3xyi$

Составим систему, приравняв действительные и мнимые части:

$\begin{cases} -5 = 5x \\ 12 - 5y = -3xy \end{cases}$

Из первого уравнения находим $x$:

$x = \frac{-5}{5} = -1$

Подставим значение $x$ во второе уравнение:

$12 - 5y = -3(-1)y$

$12 - 5y = 3y$

$12 = 3y + 5y$

$12 = 8y$

$y = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$

Ответ: $x = -1, y = \frac{3}{2}$.