Номер 17.7, страница 140 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

17.7. Преобразуйте выражение и найдите модуль полученного комплексного числа:

1) $(\frac{3+i}{2-i})^3 + (2i)^5;$

2) $(\frac{2-i}{1+2i})^5 - (2+i)^3;$

3) $(2+i)^4 - (\frac{2-3i}{1+i})^2;$

4) $(\frac{3+i}{1-2i})^3 - (1-2i)^4.$

1) $ (\frac{3+i}{2-i})^3 + (2i)^5 $

Сначала упростим выражение в скобках. Для этого умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, то есть на $2+i$:

$ \frac{3+i}{2-i} = \frac{(3+i)(2+i)}{(2-i)(2+i)} = \frac{6+3i+2i+i^2}{2^2 - i^2} = \frac{6+5i-1}{4+1} = \frac{5+5i}{5} = 1+i $.

Теперь возведем полученное число в куб, используя формулу куба суммы:

$ (1+i)^3 = 1^3 + 3 \cdot 1^2 \cdot i + 3 \cdot 1 \cdot i^2 + i^3 = 1 + 3i - 3 - i = -2+2i $.

Далее вычислим второе слагаемое:

$ (2i)^5 = 2^5 \cdot i^5 = 32 \cdot i^4 \cdot i = 32 \cdot 1 \cdot i = 32i $.

Сложим полученные результаты:

$ (-2+2i) + 32i = -2+34i $.

Найдем модуль полученного комплексного числа $ z = -2+34i $. Модуль комплексного числа $ z=a+bi $ вычисляется по формуле $ |z| = \sqrt{a^2+b^2} $.

$ |z| = |-2+34i| = \sqrt{(-2)^2 + 34^2} = \sqrt{4+1156} = \sqrt{1160} = \sqrt{4 \cdot 290} = 2\sqrt{290} $.

Ответ: преобразованное выражение $ -2+34i $, модуль равен $ 2\sqrt{290} $.

2) $ (\frac{2-i}{1+2i})^5 - (2+i)^3 $

Упростим дробь, умножив числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю число $1-2i$:

$ \frac{2-i}{1+2i} = \frac{(2-i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)} = \frac{2-4i-i+2i^2}{1^2-(2i)^2} = \frac{2-5i-2}{1-4i^2} = \frac{-5i}{1+4} = -i $.

Возведем полученное число в пятую степень:

$ (-i)^5 = (-1)^5 \cdot i^5 = -1 \cdot i^4 \cdot i = -i $.

Теперь вычислим вторую часть выражения:

$ (2+i)^3 = 2^3 + 3 \cdot 2^2 \cdot i + 3 \cdot 2 \cdot i^2 + i^3 = 8 + 12i + 6(-1) - i = 2+11i $.

Выполним вычитание:

$ -i - (2+11i) = -2 - 12i $.

Найдем модуль полученного комплексного числа $ z = -2-12i $:

$ |z| = |-2-12i| = \sqrt{(-2)^2+(-12)^2} = \sqrt{4+144} = \sqrt{148} = \sqrt{4 \cdot 37} = 2\sqrt{37} $.

Ответ: преобразованное выражение $ -2-12i $, модуль равен $ 2\sqrt{37} $.

3) $ (2+i)^4 - (\frac{2-3i}{1+i})^2 $

Сначала вычислим первую часть выражения, $(2+i)^4$:

$ (2+i)^2 = 4+4i+i^2 = 3+4i $.

$ (2+i)^4 = ((2+i)^2)^2 = (3+4i)^2 = 9+24i+16i^2 = 9+24i-16 = -7+24i $.

Теперь упростим дробь во второй части выражения:

$ \frac{2-3i}{1+i} = \frac{(2-3i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{2-2i-3i+3i^2}{1^2-i^2} = \frac{2-5i-3}{1+1} = \frac{-1-5i}{2} $.

Возведем полученную дробь в квадрат:

$ (\frac{-1-5i}{2})^2 = \frac{(-1-5i)^2}{4} = \frac{1+10i+25i^2}{4} = \frac{1+10i-25}{4} = \frac{-24+10i}{4} = -6+\frac{5}{2}i $.

Выполним вычитание:

$ (-7+24i) - (-6+\frac{5}{2}i) = -7+24i+6-\frac{5}{2}i = -1 + (24-\frac{5}{2})i = -1 + \frac{48-5}{2}i = -1 + \frac{43}{2}i $.

Найдем модуль полученного комплексного числа $ z = -1 + \frac{43}{2}i $:

$ |z| = |-1+\frac{43}{2}i| = \sqrt{(-1)^2 + (\frac{43}{2})^2} = \sqrt{1+\frac{1849}{4}} = \sqrt{\frac{4+1849}{4}} = \sqrt{\frac{1853}{4}} = \frac{\sqrt{1853}}{2} $.

Ответ: преобразованное выражение $ -1 + \frac{43}{2}i $, модуль равен $ \frac{\sqrt{1853}}{2} $.

4) $ (\frac{3+i}{1-2i})^3 - (1-2i)^4 $

Упростим дробь:

$ \frac{3+i}{1-2i} = \frac{(3+i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)} = \frac{3+6i+i+2i^2}{1^2-(2i)^2} = \frac{3+7i-2}{1+4} = \frac{1+7i}{5} $.

Возведем полученное число в куб:

$ (\frac{1+7i}{5})^3 = \frac{1}{125}(1+7i)^3 = \frac{1}{125}(1^3 + 3 \cdot 1^2 \cdot (7i) + 3 \cdot 1 \cdot (7i)^2 + (7i)^3) = \frac{1}{125}(1+21i+3(-49)-343i) = \frac{1}{125}(1+21i-147-343i) = \frac{-146-322i}{125} $.

Теперь вычислим вторую часть выражения, $(1-2i)^4$:

$ (1-2i)^2 = 1-4i+4i^2 = 1-4i-4 = -3-4i $.

$ (1-2i)^4 = ((1-2i)^2)^2 = (-3-4i)^2 = 9+24i+16i^2 = 9+24i-16 = -7+24i $.

Выполним вычитание:

$ \frac{-146-322i}{125} - (-7+24i) = \frac{-146-322i}{125} + 7-24i = \frac{-146+7 \cdot 125}{125} + i\frac{-322-24 \cdot 125}{125} = \frac{-146+875}{125} + i\frac{-322-3000}{125} = \frac{729}{125} - \frac{3322}{125}i $.

Найдем модуль полученного комплексного числа $ z = \frac{729}{125} - \frac{3322}{125}i $:

$ |z| = |\frac{729-3322i}{125}| = \sqrt{(\frac{729}{125})^2 + (-\frac{3322}{125})^2} = \frac{1}{125}\sqrt{729^2 + 3322^2} = \frac{1}{125}\sqrt{531441 + 11035684} = \frac{\sqrt{11567125}}{125} $.

Упростим корень: $ \sqrt{11567125} = \sqrt{25 \cdot 462685} = 5\sqrt{462685} $.

$ |z| = \frac{5\sqrt{462685}}{125} = \frac{\sqrt{462685}}{25} $.

Ответ: преобразованное выражение $ \frac{729}{125} - \frac{3322}{125}i $, модуль равен $ \frac{\sqrt{462685}}{25} $.