Номер 17.11, страница 141 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

17.11. Найдите значение интеграла, преобразуя подынтегральную функцию:

1) $$\int_0^{\frac{\pi}{4}} (1-2\cos^2 x) dx;$$

2) $$\int_0^{\frac{\pi}{2}} 2\sin x \cos 3x dx;$$

3) $$\int_0^{\frac{\pi}{2}} 10\sin\left(\frac{\pi}{12}-x\right)\cos\left(\frac{\pi}{12}-x\right) dx;$$

4) $$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \left(\cos^2\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-\sin^2\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\right) dx.$$

1) Преобразуем подынтегральную функцию, используя формулу косинуса двойного угла $cos(2\alpha) = 2cos^2\alpha - 1$. Отсюда $1 - 2cos^2x = -(2cos^2x - 1) = -cos(2x)$.

Теперь интеграл имеет вид:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (1-2cos^2x)dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} -cos(2x)dx$

Найдем первообразную для функции $-cos(2x)$. Это будет $-\frac{1}{2}sin(2x)$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} -cos(2x)dx = \left[-\frac{1}{2}sin(2x)\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \left(-\frac{1}{2}sin(2 \cdot \frac{\pi}{4})\right) - \left(-\frac{1}{2}sin(2 \cdot 0)\right) = -\frac{1}{2}sin(\frac{\pi}{2}) + \frac{1}{2}sin(0) = -\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$

2) Преобразуем подынтегральную функцию, используя формулу преобразования произведения тригонометрических функций в сумму: $2sin\alpha cos\beta = sin(\alpha+\beta) + sin(\alpha-\beta)$.

В нашем случае $\alpha=x$, $\beta=3x$.

$2sin(x)cos(3x) = sin(x+3x) + sin(x-3x) = sin(4x) + sin(-2x) = sin(4x) - sin(2x)$.

Интеграл принимает вид:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (sin(4x) - sin(2x))dx$

Найдем первообразную: $\int (sin(4x) - sin(2x))dx = -\frac{1}{4}cos(4x) - (-\frac{1}{2}cos(2x)) = -\frac{1}{4}cos(4x) + \frac{1}{2}cos(2x)$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\left[-\frac{1}{4}cos(4x) + \frac{1}{2}cos(2x)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \left(-\frac{1}{4}cos(4 \cdot \frac{\pi}{2}) + \frac{1}{2}cos(2 \cdot \frac{\pi}{2})\right) - \left(-\frac{1}{4}cos(0) + \frac{1}{2}cos(0)\right)$

$= \left(-\frac{1}{4}cos(2\pi) + \frac{1}{2}cos(\pi)\right) - \left(-\frac{1}{4} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 1\right) = \left(-\frac{1}{4} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (-1)\right) - \frac{1}{4} = -\frac{1}{4} - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = -\frac{3}{4} - \frac{1}{4} = -1$.

Ответ: $-1$

3) Преобразуем подынтегральную функцию, используя формулу синуса двойного угла: $sin(2\alpha) = 2sin\alpha cos\alpha$.

$10sin(\frac{\pi}{12}-x)cos(\frac{\pi}{12}-x) = 5 \cdot 2sin(\frac{\pi}{12}-x)cos(\frac{\pi}{12}-x) = 5sin(2(\frac{\pi}{12}-x)) = 5sin(\frac{\pi}{6}-2x)$.

Интеграл принимает вид:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 5sin(\frac{\pi}{6}-2x)dx$

Найдем первообразную: $\int 5sin(\frac{\pi}{6}-2x)dx = 5 \cdot \frac{1}{-2}(-\cos(\frac{\pi}{6}-2x)) = \frac{5}{2}\cos(\frac{\pi}{6}-2x)$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\left[\frac{5}{2}\cos(\frac{\pi}{6}-2x)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \left(\frac{5}{2}\cos(\frac{\pi}{6}-2 \cdot \frac{\pi}{2})\right) - \left(\frac{5}{2}\cos(\frac{\pi}{6}-0)\right)$

$= \frac{5}{2}\cos(\frac{\pi}{6}-\pi) - \frac{5}{2}\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{5}{2}\cos(-\frac{5\pi}{6}) - \frac{5}{2}\cos(\frac{\pi}{6})$

Так как $cos(-\alpha)=cos(\alpha)$, $cos(\frac{5\pi}{6})=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $cos(\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}$:

$= \frac{5}{2}(-\frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{5}{2}(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{5\sqrt{3}}{4} - \frac{5\sqrt{3}}{4} = -\frac{10\sqrt{3}}{4} = -\frac{5\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $-\frac{5\sqrt{3}}{2}$

4) Преобразуем подынтегральную функцию, используя формулу косинуса двойного угла: $cos(2\alpha) = cos^2\alpha - sin^2\alpha$.

В нашем случае $\alpha=x+\frac{\pi}{6}$.

$cos^2(x+\frac{\pi}{6})