Номер 17.11, страница 141 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

17.11. Найдите значение интеграла, преобразуя подынтегральную функцию:

1) $$\int_0^{\frac{\pi}{4}} (1-2\cos^2 x) dx;$$

2) $$\int_0^{\frac{\pi}{2}} 2\sin x \cos 3x dx;$$

3) $$\int_0^{\frac{\pi}{2}} 10\sin\left(\frac{\pi}{12}-x\right)\cos\left(\frac{\pi}{12}-x\right) dx;$$

4) $$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \left(\cos^2\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-\sin^2\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\right) dx.$$

1) $\int_0^{\pi/4} (1 - 2\cos^2 x) dx$

• Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$. Следовательно, $1 - 2\cos^2 x = -\cos 2x$.
• Интегрируем: $\int_0^{\pi/4} -\cos 2x dx = [-\frac{1}{2}\sin 2x]_0^{\pi/4}$.
• Подставляем пределы: $-\frac{1}{2}\sin(\pi/2) - (-\frac{1}{2}\sin 0) = -\frac{1}{2}(1) + 0 = -0,5$.

Ответ: -0,5.

2) $\int_0^{\pi/2} 2\sin x \cos 3x dx$

• Используем формулу произведения синуса на косинус: $\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta))$.
• $2\sin x \cos 3x = \sin(x+3x) + \sin(x-3x) = \sin 4x + \sin(-2x) = \sin 4x - \sin 2x$.
• Интегрируем: $\int_0^{\pi/2} (\sin 4x - \sin 2x) dx = [-\frac{1}{4}\cos 4x + \frac{1}{2}\cos 2x]_0^{\pi/2}$.
• Верхний предел: $-\frac{1}{4}\cos 2\pi + \frac{1}{2}\cos \pi = -\frac{1}{4}(1) + \frac{1}{2}(-1) = -0,25 - 0,5 = -0,75$.
• Нижний предел: $-\frac{1}{4}\cos 0 + \frac{1}{2}\cos 0 = -0,25 + 0,5 = 0,25$.
• Разность: $-0,75 - 0,25 = -1$.

Ответ: -1.

3) $\int_0^{\pi/2} 10\sin(\frac{\pi}{12}-x)\cos(\frac{\pi}{12}-x) dx$

• Используем формулу синуса двойного угла: $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin 2\alpha$.
• $10\sin\alpha\cos\alpha = 5\sin 2\alpha$. Здесь $2\alpha = 2(\frac{\pi}{12}-x) = \frac{\pi}{6}-2x$.
• Интегрируем: $\int_0^{\pi/2} 5\sin(\frac{\pi}{6}-2x) dx = [5 \cdot \frac{1}{2}\cos(\frac{\pi}{6}-2x)]_0^{\pi/2} = [2,5\cos(\frac{\pi}{6}-2x)]_0^{\pi/2}$.
• Верхний предел: $2,5\cos(\frac{\pi}{6}-\pi) = 2,5\cos(-\frac{5\pi}{6}) = 2,5 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -1,25\sqrt{3}$.
• Нижний предел: $2,5\cos(\frac{\pi}{6}) = 2,5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1,25\sqrt{3}$.
• Разность: $-1,25\sqrt{3} - 1,25\sqrt{3} = -2,5\sqrt{3}$.

Ответ: $-2,5\sqrt{3}$.

4) $\int_0^{\pi/4} (\cos^2(x+\frac{\pi}{6}) - \sin^2(x+\frac{\pi}{6})) dx$

• Используем формулу $\cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \cos 2\alpha$.
• Аргумент: $2(x+\frac{\pi}{6}) = 2x + \frac{\pi}{3}$.
• Интегрируем: $\int_0^{\pi/4} \cos(2x+\frac{\pi}{3}) dx = [\frac{1}{2}\sin(2x+\frac{\pi}{3})]_0^{\pi/4}$.
• Верхний предел: $\frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}\sin(\frac{5\pi}{6}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 0,25$.
• Нижний предел: $\frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.
• Разность: $0,25 - \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{1-\sqrt{3}}{4}$.

Ответ: $\frac{1-\sqrt{3}}{4}$.