Номер 18.5, страница 144 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

18.5. Составьте квадратное уравнение с действительными коэффициентами, одним из корней которого является число:

1) $\sqrt{15}i$;

2) $\sqrt{3} - 2i$;

3) $-3\sqrt{5} + 2i$;

4) $2 - 3\sqrt{2}i$.

1)

Если один из корней квадратного уравнения с действительными коэффициентами является комплексным числом $z_1 = a+bi$, то второй корень $z_2$ обязательно будет его комплексно сопряженным числом, то есть $z_2 = a-bi$.

Дан корень $z_1 = \sqrt{15}i = 0 + \sqrt{15}i$.

Следовательно, второй корень $z_2 = \overline{z_1} = 0 - \sqrt{15}i = -\sqrt{15}i$.

Квадратное уравнение с корнями $z_1$ и $z_2$ можно составить по теореме Виета: $x^2 - (z_1+z_2)x + z_1z_2 = 0$.

Найдем сумму корней: $z_1 + z_2 = \sqrt{15}i + (-\sqrt{15}i) = 0$.

Найдем произведение корней: $z_1 \cdot z_2 = (\sqrt{15}i)(-\sqrt{15}i) = -(\sqrt{15})^2 i^2 = -15(-1) = 15$.

Подставим найденные значения в уравнение:

$x^2 - (0)x + 15 = 0$

$x^2 + 15 = 0$

Ответ: $x^2 + 15 = 0$.

2)

Дан корень $z_1 = \sqrt{3} - 2i$.

Так как коэффициенты уравнения действительные, второй корень $z_2$ является комплексно сопряженным к $z_1$: $z_2 = \overline{\sqrt{3} - 2i} = \sqrt{3} + 2i$.

Используем формулу $x^2 - (z_1+z_2)x + z_1z_2 = 0$.

Сумма корней: $z_1 + z_2 = (\sqrt{3} - 2i) + (\sqrt{3} + 2i) = 2\sqrt{3}$.

Произведение корней: $z_1 \cdot z_2 = (\sqrt{3} - 2i)(\sqrt{3} + 2i) = (\sqrt{3})^2 - (2i)^2 = 3 - 4i^2 = 3 - 4(-1) = 3 + 4 = 7$.

Подставляем в уравнение:

$x^2 - 2\sqrt{3}x + 7 = 0$

Ответ: $x^2 - 2\sqrt{3}x + 7 = 0$.

3)

Дан корень $z_1 = -3\sqrt{5} + 2i$.

Второй корень является комплексно сопряженным: $z_2 = \overline{-3\sqrt{5} + 2i} = -3\sqrt{5} - 2i$.

Используем формулу $x^2 - (z_1+z_2)x + z_1z_2 = 0$.

Сумма корней: $z_1 + z_2 = (-3\sqrt{5} + 2i) + (-3\sqrt{5} - 2i) = -6\sqrt{5}$.

Произведение корней: $z_1 \cdot z_2 = (-3\sqrt{5} + 2i)(-3\sqrt{5} - 2i) = (-3\sqrt{5})^2 - (2i)^2 = (9 \cdot 5) - 4i^2 = 45 - 4(-1) = 45 + 4 = 49$.

Подставляем в уравнение:

$x^2 - (-6\sqrt{5})x + 49 = 0$

$x^2 + 6\sqrt{5}x + 49 = 0$

Ответ: $x^2 + 6\sqrt{5}x + 49 = 0$.

4)

Дан корень $z_1 = 2 - 3\sqrt{2}i$.

Второй корень является комплексно сопряженным: $z_2 = \overline{2 - 3\sqrt{2}i} = 2 + 3\sqrt{2}i$.

Используем формулу $x^2 - (z_1+z_2)x + z_1z_2 = 0$.

Сумма корней: $z_1 + z_2 = (2 - 3\sqrt{2}i) + (2 + 3\sqrt{2}i) = 4$.

Произведение корней: $z_1 \cdot z_2 = (2 - 3\sqrt{2}i)(2 + 3\sqrt{2}i) = 2^2 - (3\sqrt{2}i)^2 = 4 - (9 \cdot 2)i^2 = 4 - 18(-1) = 4 + 18 = 22$.

Подставляем в уравнение:

$x^2 - 4x + 22 = 0$

Ответ: $x^2 - 4x + 22 = 0$.