Вопросы, страница 143 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1. В каком множестве можно найти квадратный корень для любого числа?

2. Всегда ли корни квадратного уравнения являются сопряженными?

3. Какое множество точек на комплексной плоскости удовлетворяет неравенству $|z| < 2$?

1. В различных числовых множествах возможность извлечения квадратного корня ограничена. Например, в множестве действительных чисел $\mathbb{R}$ нельзя извлечь квадратный корень из отрицательного числа (например, $\sqrt{-1}$). Однако в множестве комплексных чисел $\mathbb{C}$ эта операция выполнима для любого числа. Согласно основной теореме алгебры, любое комплексное число $z$ имеет ровно два квадратных корня (которые являются противоположными числами, за исключением случая, когда $z=0$). Например, квадратные корни из $-1$ равны $i$ и $-i$. Таким образом, квадратный корень для любого числа можно найти в множестве комплексных чисел.

Ответ: В множестве комплексных чисел $\mathbb{C}$.

2. Нет, не всегда. Корни квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ являются комплексно-сопряженными только в том случае, если все его коэффициенты ($a, b, c$) являются действительными числами, а дискриминант $D = b^2 - 4ac$ отрицателен. В этом случае корни имеют вид $x_{1,2} = p \pm qi$, где $p$ и $q$ – действительные числа и $q \neq 0$.

Если же коэффициенты уравнения не являются действительными, то его корни, как правило, не будут сопряженными. Например, рассмотрим уравнение $x^2 - (3+i)x + (2+2i) = 0$. Его корнями являются числа $x_1 = 2$ и $x_2 = 1+i$. Эти числа не являются сопряженными. Также, если у уравнения с действительными коэффициентами дискриминант неотрицателен, корни будут действительными и не будут образовывать пару комплексно-сопряженных чисел (если не считать, что действительное число сопряжено само себе).

Ответ: Нет, не всегда.

3. Неравенство $|z| < 2$ описывает множество точек на комплексной плоскости. Пусть комплексное число $z$ представлено в виде $z = x + iy$, где $x$ и $y$ – его действительная и мнимая части. Модуль комплексного числа $|z|$ определяется как расстояние от точки, соответствующей этому числу, до начала координат и вычисляется по формуле $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Таким образом, неравенство $|z| < 2$ эквивалентно неравенству $\sqrt{x^2 + y^2} < 2$. Возведя обе части в квадрат, получаем $x^2 + y^2 < 2^2$.

Уравнение $x^2 + y^2 = R^2$ задает окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R$. Следовательно, неравенство $x^2 + y^2 < 4$ описывает множество всех точек, находящихся внутри окружности с центром в начале координат и радиусом 2. Так как неравенство строгое ($<$), сама окружность (граница) в это множество не включается. Такое множество называется открытым кругом.

Ответ: Это множество точек, лежащих внутри круга с центром в начале координат и радиусом 2 (открытый круг).