Номер 17.12, страница 141 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

17.12. Используя метод интегрирования по частям, найдите неопределенный интеграл:

1) $ \int(2x - 3)\cos(2x)dx; $

2) $ \int(x^2 + 2x)\sin(x)dx. $

1) Для нахождения неопределенного интеграла $∫(2x - 3)cos(2x)dx$ используем метод интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям: $∫u dv = uv - ∫v du$.

В качестве $u$ выберем многочлен, а в качестве $dv$ — тригонометрическую функцию.

Пусть $u = 2x - 3$. Тогда найдем ее дифференциал: $du = (2x - 3)'dx = 2dx$.

Пусть $dv = cos(2x)dx$. Тогда найдем $v$ путем интегрирования: $v = ∫cos(2x)dx = \frac{1}{2}sin(2x)$.

Теперь подставим полученные значения в формулу интегрирования по частям:

$∫(2x - 3)cos(2x)dx = (2x - 3) \cdot \frac{1}{2}sin(2x) - ∫\frac{1}{2}sin(2x) \cdot 2dx$

Упростим выражение:

$\frac{1}{2}(2x - 3)sin(2x) - ∫sin(2x)dx$

Найдем оставшийся интеграл:

$∫sin(2x)dx = -\frac{1}{2}cos(2x)$

Подставим результат обратно в выражение и добавим константу интегрирования $C$:

$\frac{1}{2}(2x - 3)sin(2x) - (-\frac{1}{2}cos(2x)) + C = \frac{1}{2}(2x - 3)sin(2x) + \frac{1}{2}cos(2x) + C$

Ответ: $\frac{1}{2}(2x - 3)sin(2x) + \frac{1}{2}cos(2x) + C$.

2) Для нахождения неопределенного интеграла $∫(x^2 + 2x)sin(x)dx$ также используем метод интегрирования по частям: $∫u dv = uv - ∫v du$. Поскольку под знаком интеграла стоит произведение многочлена второй степени на тригонометрическую функцию, метод придется применить дважды.

Первое применение интегрирования по частям:

Пусть $u = x^2 + 2x$. Тогда $du = (2x + 2)dx$.

Пусть $dv = sin(x)dx$. Тогда $v = ∫sin(x)dx = -cos(x)$.

Подставляем в формулу:

$∫(x^2 + 2x)sin(x)dx = (x^2 + 2x)(-cos(x)) - ∫(-cos(x))(2x + 2)dx$

$= -(x^2 + 2x)cos(x) + ∫(2x + 2)cos(x)dx$

Второе применение интегрирования по частям (для интеграла $∫(2x + 2)cos(x)dx$):

Пусть $u_1 = 2x + 2$. Тогда $du_1 = 2dx$.

Пусть $dv_1 = cos(x)dx$. Тогда $v_1 = ∫cos(x)dx = sin(x)$.

Подставляем в формулу:

$∫(2x + 2)cos(x)dx = (2x + 2)sin(x) - ∫sin(x) \cdot 2dx = (2x + 2)sin(x) - 2∫sin(x)dx$

$= (2x + 2)sin(x) - 2(-cos(x)) = (2x + 2)sin(x) + 2cos(x)$

Теперь подставим результат второго интегрирования в выражение, полученное после первого шага:

$∫(x^2 + 2x)sin(x)dx = -(x^2 + 2x)cos(x) + ((2x + 2)sin(x) + 2cos(x)) + C$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:

$-x^2cos(x) - 2xcos(x) + (2x + 2)sin(x) + 2cos(x) + C$

$= (2x + 2)sin(x) + (-x^2 - 2x + 2)cos(x) + C$

$= (2x + 2)sin(x) - (x^2 + 2x - 2)cos(x) + C$

Ответ: $(2x + 2)sin(x) - (x^2 + 2x - 2)cos(x) + C$.