Номер 17.5, страница 140 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

17.5. Выполните действия:

1) $\left(\frac{3-i}{2+i}\right)^2 + (1-2i)^3;$

2) $\frac{\sqrt{3}-i}{\sqrt{3}+2i} - (\sqrt{3}+2i)^3;$

3) $(2+3i)^4 - \frac{2-3i}{1+i};$

4) $\frac{3-i}{1-2i} - (1-2i)^4.$

1) $(\frac{3-i}{2+i})^2 + (1-2i)^3$

Выполним действия по шагам. Сначала упростим выражение в скобках в первом слагаемом, выполнив деление комплексных чисел. Для этого умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, то есть на $2-i$:

$ \frac{3-i}{2+i} = \frac{(3-i)(2-i)}{(2+i)(2-i)} = \frac{6 - 3i - 2i + i^2}{2^2 - i^2} = \frac{6 - 5i - 1}{4 - (-1)} = \frac{5 - 5i}{5} = 1 - i. $

Теперь возведем полученный результат в квадрат:

$ (1 - i)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i. $

Далее вычислим второе слагаемое, используя формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ и учитывая, что $i^2 = -1$ и $i^3 = -i$:

$ (1 - 2i)^3 = 1^3 - 3 \cdot 1^2 \cdot (2i) + 3 \cdot 1 \cdot (2i)^2 - (2i)^3 = 1 - 6i + 3(4i^2) - 8i^3 = 1 - 6i - 12 - 8(-i) = 1 - 6i - 12 + 8i = -11 + 2i. $

Наконец, сложим результаты двух слагаемых:

$ -2i + (-11 + 2i) = -11 - 2i + 2i = -11. $

Ответ: $-11$.

2) $\frac{\sqrt{3}-i}{\sqrt{3}+2i} - (\sqrt{3}+2i)^3$

Сначала преобразуем первое слагаемое (уменьшаемое), выполнив деление. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю число $\sqrt{3}-2i$:

$ \frac{\sqrt{3}-i}{\sqrt{3}+2i} = \frac{(\sqrt{3}-i)(\sqrt{3}-2i)}{(\sqrt{3}+2i)(\sqrt{3}-2i)} = \frac{(\sqrt{3})^2 - 2i\sqrt{3} - i\sqrt{3} + 2i^2}{(\sqrt{3})^2 - (2i)^2} = \frac{3 - 3i\sqrt{3} - 2}{3 - 4i^2} = \frac{1 - 3i\sqrt{3}}{3+4} = \frac{1 - 3\sqrt{3}i}{7}. $

Теперь вычислим второе слагаемое (вычитаемое), используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:

$ (\sqrt{3}+2i)^3 = (\sqrt{3})^3 + 3(\sqrt{3})^2(2i) + 3(\sqrt{3})(2i)^2 + (2i)^3 = 3\sqrt{3} + 3 \cdot 3 \cdot (2i) + 3\sqrt{3}(4i^2) + 8i^3 = 3\sqrt{3} + 18i - 12\sqrt{3} - 8i = -9\sqrt{3} + 10i. $

Теперь выполним вычитание, объединив действительные и мнимые части:

$ \frac{1 - 3\sqrt{3}i}{7} - (-9\sqrt{3} + 10i) = \frac{1}{7} - \frac{3\sqrt{3}}{7}i + 9\sqrt{3} - 10i = (\frac{1}{7} + 9\sqrt{3}) - i(\frac{3\sqrt{3}}{7} + 10) = \frac{1+63\sqrt{3}}{7} - i\frac{3\sqrt{3}+70}{7}. $

Ответ: $ \frac{1+63\sqrt{3}}{7} - \frac{70+3\sqrt{3}}{7}i $.

3) $(2+3i)^4 - \frac{2-3i}{1+i}$

Вычислим уменьшаемое и вычитаемое по отдельности. Для вычисления $(2+3i)^4$ сначала возведем в квадрат:

$ (2+3i)^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot (3i) + (3i)^2 = 4 + 12i + 9i^2 = 4 + 12i - 9 = -5 + 12i. $

Теперь возведем полученный результат в квадрат:

$ (2+3i)^4 = (-5+12i)^2 = (-5)^2 + 2(-5)(12i) + (12i)^2 = 25 - 120i + 144i^2 = 25 - 120i - 144 = -119 - 120i. $

Далее упростим вычитаемое, выполнив деление:

$ \frac{2-3i}{1+i} = \frac{(2-3i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{2 - 2i - 3i + 3i^2}{1^2 - i^2} = \frac{2 - 5i - 3}{1 - (-1)} = \frac{-1 - 5i}{2} = -\frac{1}{2} - \frac{5}{2}i. $

Выполним вычитание:

$ (-119 - 120i) - (-\frac{1}{2} - \frac{5}{2}i) = -119 - 120i + \frac{1}{2} + \frac{5}{2}i = (-119 + \frac{1}{2}) + (-120 + \frac{5}{2})i = (-\frac{238}{2} + \frac{1}{2}) + (-\frac{240}{2} + \frac{5}{2})i = -\frac{237}{2} - \frac{235}{2}i. $

Ответ: $ -118.5 - 117.5i $.

4) $\frac{3-i}{1-2i} - (1-2i)^4$

Сначала упростим уменьшаемое, выполнив деление комплексных чисел:

$ \frac{3-i}{1-2i} = \frac{(3-i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)} = \frac{3 + 6i - i - 2i^2}{1^2 - (2i)^2} = \frac{3 + 5i - 2(-1)}{1 - 4i^2} = \frac{3+5i+2}{1+4} = \frac{5+5i}{5} = 1+i. $

Теперь вычислим вычитаемое. Для $(1-2i)^4$ сначала возведем в квадрат:

$ (1-2i)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot (2i) + (2i)^2 = 1 - 4i + 4i^2 = 1 - 4i - 4 = -3 - 4i. $

Возведем результат в квадрат:

$ (1-2i)^4 = (-3 - 4i)^2 = (-(3+4i))^2 = (3+4i)^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot (4i) + (4i)^2 = 9 + 24i + 16i^2 = 9 + 24i - 16 = -7 + 24i. $

Выполним вычитание:

$ (1+i) - (-7 + 24i) = 1+i+7-24i = (1+7) + (1-24)i = 8 - 23i. $

Ответ: $ 8 - 23i $.