Номер 17.4, страница 140 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

17.4. Упростите выражение:

1) $\frac{3+i}{2-i} + (5 - 2i)^2$;

2) $\frac{\sqrt{3}+i}{\sqrt{3}-i} - (\sqrt{3}-2i)^2$;

3) $2 + 3i - \frac{2-3i}{1+2i}$;

4) $\frac{3-4i}{3-2i} - \frac{4-i}{2+3i}$;

5) $\frac{3-2i}{1-2i} + \frac{5-2i}{2-i}$;

6) $\frac{7-i}{5i} + \frac{3-7i}{2i-1}$.

1) Упростим выражение $ \frac{3+i}{2-i} + (5-2i)^2 $ по частям.

Сначала упростим дробь, умножив числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю число $(2+i)$:

$ \frac{3+i}{2-i} = \frac{(3+i)(2+i)}{(2-i)(2+i)} = \frac{6+3i+2i+i^2}{2^2 - i^2} = \frac{6+5i-1}{4 - (-1)} = \frac{5+5i}{5} = 1+i $.

Теперь возведем в квадрат второе слагаемое, используя формулу квадрата разности и свойство $ i^2 = -1 $:

$ (5-2i)^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot (2i) + (2i)^2 = 25 - 20i + 4i^2 = 25 - 20i - 4 = 21 - 20i $.

Сложим полученные результаты:

$ (1+i) + (21-20i) = (1+21) + (i-20i) = 22 - 19i $.

Ответ: $ 22 - 19i $.

2) Упростим выражение $ \frac{\sqrt{3}+i}{\sqrt{3}-i} - (\sqrt{3}-2i)^2 $ по частям.

Упростим первое слагаемое, умножив числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю число $(\sqrt{3}+i)$:

$ \frac{\sqrt{3}+i}{\sqrt{3}-i} = \frac{(\sqrt{3}+i)(\sqrt{3}+i)}{(\sqrt{3}-i)(\sqrt{3}+i)} = \frac{(\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}i + i^2}{(\sqrt{3})^2 - i^2} = \frac{3+2\sqrt{3}i-1}{3-(-1)} = \frac{2+2\sqrt{3}i}{4} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i $.

Упростим второе слагаемое:

$ (\sqrt{3}-2i)^2 = (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot (2i) + (2i)^2 = 3 - 4\sqrt{3}i + 4i^2 = 3 - 4\sqrt{3}i - 4 = -1 - 4\sqrt{3}i $.

Вычтем второе из первого:

$ (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) - (-1 - 4\sqrt{3}i) = \frac{1}{2} + 1 + (\frac{\sqrt{3}}{2} + 4\sqrt{3})i = \frac{3}{2} + (\frac{1}{2} + \frac{8}{2})\sqrt{3}i = \frac{3}{2} + \frac{9\sqrt{3}}{2}i $.

Ответ: $ \frac{3}{2} + \frac{9\sqrt{3}}{2}i $.

3) Упростим выражение $ 2 + 3i - \frac{2-3i}{1+2i} $.

Сначала упростим дробь, умножив числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю число $(1-2i)$:

$ \frac{2-3i}{1+2i} = \frac{(2-3i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)} = \frac{2-4i-3i+6i^2}{1^2-(2i)^2} = \frac{2-7i-6}{1-4(-1)} = \frac{-4-7i}{5} = -\frac{4}{5} - \frac{7}{5}i $.

Теперь выполним вычитание:

$ 2 + 3i - (-\frac{4}{5} - \frac{7}{5}i) = 2 + 3i + \frac{4}{5} + \frac{7}{5}i = (2+\frac{4}{5}) + (3+\frac{7}{5})i = (\frac{10}{5}+\frac{4}{5}) + (\frac{15}{5}+\frac{7}{5})i = \frac{14}{5} + \frac{22}{5}i $.

Ответ: $ \frac{14}{5} + \frac{22}{5}i $.

4) Упростим выражение $ \frac{3-4i}{3-2i} - \frac{4-i}{2+3i} $.

Приведем дроби к общему знаменателю, но проще будет упростить каждую дробь по отдельности.

Упростим первую дробь, умножив на сопряженное $(3+2i)$:

$ \frac{3-4i}{3-2i} = \frac{(3-4i)(3+2i)}{(3-2i)(3+2i)} = \frac{9+6i-12i-8i^2}{3^2-(2i)^2} = \frac{9-6i+8}{9+4} = \frac{17-6i}{13} $.

Упростим вторую дробь, умножив на сопряженное $(2-3i)$:

$ \frac{4-i}{2+3i} = \frac{(4-i)(2-3i)}{(2+3i)(2-3i)} = \frac{8-12i-2i+3i^2}{2^2-(3i)^2} = \frac{8-14i-3}{4+9} = \frac{5-14i}{13} $.

Выполним вычитание:

$ \frac{17-6i}{13} - \frac{5-14i}{13} = \frac{(17-5) + (-6-(-14))i}{13} = \frac{12+8i}{13} = \frac{12}{13} + \frac{8}{13}i $.

Ответ: $ \frac{12}{13} + \frac{8}{13}i $.

5) Упростим выражение $ \frac{3-2i}{1-2i} + \frac{5-2i}{2-i} $.

Упростим каждую дробь по отдельности.

Первая дробь:

$ \frac{3-2i}{1-2i} = \frac{(3-2i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)} = \frac{3+6i-2i-4i^2}{1^2-(2i)^2} = \frac{3+4i+4}{1+4} = \frac{7+4i}{5} $.

Вторая дробь:

$ \frac{5-2i}{2-i} = \frac{(5-2i)(2+i)}{(2-i)(2+i)} = \frac{10+5i-4i-2i^2}{2^2-i^2} = \frac{10+i+2}{4+1} = \frac{12+i}{5} $.

Сложим полученные результаты:

$ \frac{7+4i}{5} + \frac{12+i}{5} = \frac{(7+12)+(4+1)i}{5} = \frac{19+5i}{5} = \frac{19}{5} + i $.

Ответ: $ \frac{19}{5} + i $.

6) Упростим выражение $ \frac{7-i}{5i} + \frac{3-7i}{2i-1} $.

Упростим каждую дробь по отдельности.

Первая дробь. Умножим числитель и знаменатель на $i$ (или на сопряженное $-5i$):

$ \frac{7-i}{5i} = \frac{(7-i)(-i)}{5i(-i)} = \frac{-7i+i^2}{-5i^2} = \frac{-7i-1}{-5(-1)} = \frac{-1-7i}{5} = -\frac{1}{5} - \frac{7}{5}i $.

Вторая дробь. Знаменатель $2i-1 = -1+2i$. Сопряженное к нему $-1-2i$:

$ \frac{3-7i}{-1+2i} = \frac{(3-7i)(-1-2i)}{(-1+2i)(-1-2i)} = \frac{-3-6i+7i+14i^2}{(-1)^2-(2i)^2} = \frac{-3+i-14}{1+4} = \frac{-17+i}{5} = -\frac{17}{5} + \frac{1}{5}i $.

Сложим полученные результаты:

$ (-\frac{1}{5} - \frac{7}{5}i) + (-\frac{17}{5} + \frac{1}{5}i) = (-\frac{1}{5}-\frac{17}{5}) + (-\frac{7}{5}+\frac{1}{5})i = -\frac{18}{5} - \frac{6}{5}i $.

Ответ: $ -\frac{18}{5} - \frac{6}{5}i $.