Номер 17.3, страница 140 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

17.3. Упростите выражение:

1) $\frac{3-i}{2+i}$;

2) $\frac{\sqrt{2}+i}{\sqrt{2}-i}$;

3) $\frac{2-3i}{1+2i}$;

4) $\frac{3-5i}{5-2i}$;

5) $\frac{3-2i}{-1-2i}$;

6) $\frac{-3-7i}{-3+2i}$.

1) Чтобы упростить выражение, представляющее собой частное двух комплексных чисел, необходимо умножить числитель и знаменатель дроби на число, комплексно-сопряженное знаменателю. Для знаменателя $2+i$ сопряженным является число $2-i$.

$\frac{3-i}{2+i} = \frac{(3-i)(2-i)}{(2+i)(2-i)} = \frac{3 \cdot 2 - 3 \cdot i - i \cdot 2 + (-i) \cdot (-i)}{2^2 - i^2}$

Вспоминая, что $i^2 = -1$, получаем:

$\frac{6 - 3i - 2i + i^2}{4 - (-1)} = \frac{6 - 5i - 1}{4 + 1} = \frac{5 - 5i}{5} = \frac{5(1-i)}{5} = 1 - i$.

Ответ: $1 - i$.

2) Умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю $\sqrt{2}-i$, то есть на $\sqrt{2}+i$.

$\frac{\sqrt{2}+i}{\sqrt{2}-i} = \frac{(\sqrt{2}+i)(\sqrt{2}+i)}{(\sqrt{2}-i)(\sqrt{2}+i)} = \frac{(\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot i + i^2}{(\sqrt{2})^2 - i^2} = \frac{2 + 2\sqrt{2}i - 1}{2 - (-1)} = \frac{1 + 2\sqrt{2}i}{3} = \frac{1}{3} + \frac{2\sqrt{2}}{3}i$.

Ответ: $\frac{1}{3} + \frac{2\sqrt{2}}{3}i$.

3) Умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю $1+2i$, то есть на $1-2i$.

$\frac{2-3i}{1+2i} = \frac{(2-3i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)} = \frac{2 - 4i - 3i + 6i^2}{1^2 - (2i)^2} = \frac{2 - 7i - 6}{1 - 4i^2} = \frac{-4 - 7i}{1 + 4} = \frac{-4 - 7i}{5} = -\frac{4}{5} - \frac{7}{5}i$.

Ответ: $-\frac{4}{5} - \frac{7}{5}i$.

4) Умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю $5-2i$, то есть на $5+2i$.

$\frac{3-5i}{5-2i} = \frac{(3-5i)(5+2i)}{(5-2i)(5+2i)} = \frac{15 + 6i - 25i - 10i^2}{5^2 - (2i)^2} = \frac{15 - 19i + 10}{25 - 4(-1)} = \frac{25 - 19i}{25 + 4} = \frac{25 - 19i}{29} = \frac{25}{29} - \frac{19}{29}i$.

Ответ: $\frac{25}{29} - \frac{19}{29}i$.

5) Умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю $-1-2i$, то есть на $-1+2i$.

$\frac{3-2i}{-1-2i} = \frac{(3-2i)(-1+2i)}{(-1-2i)(-1+2i)} = \frac{-3 + 6i + 2i - 4i^2}{(-1)^2 - (2i)^2} = \frac{-3 + 8i + 4}{1 - 4(-1)} = \frac{1 + 8i}{1 + 4} = \frac{1 + 8i}{5} = \frac{1}{5} + \frac{8}{5}i$.

Ответ: $\frac{1}{5} + \frac{8}{5}i$.

6) Умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю $-3+2i$, то есть на $-3-2i$.

$\frac{-3-7i}{-3+2i} = \frac{(-3-7i)(-3-2i)}{(-3+2i)(-3-2i)} = \frac{9 + 6i + 21i + 14i^2}{(-3)^2 - (2i)^2} = \frac{9 + 27i - 14}{9 - 4(-1)} = \frac{-5 + 27i}{9 + 4} = \frac{-5 + 27i}{13} = -\frac{5}{13} + \frac{27}{13}i$.

Ответ: $-\frac{5}{13} + \frac{27}{13}i$.