Номер 16.17, страница 135 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

16.17. Решите неравенство $f'(x) > 0;$

1) $f(x) = 2\cos3x + 3x;$

2) $f(x) = -x^3 + 12x + 1.$

1) Дана функция $f(x) = 2\cos(3x) + 3x$.

Для решения неравенства $f'(x) > 0$ сначала найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования сложной функции и правило дифференцирования суммы:

$f'(x) = (2\cos(3x) + 3x)' = (2\cos(3x))' + (3x)'$

$(2\cos(3x))' = 2 \cdot (-\sin(3x)) \cdot (3x)' = 2 \cdot (-\sin(3x)) \cdot 3 = -6\sin(3x)$

$(3x)' = 3$

Следовательно, производная равна:

$f'(x) = -6\sin(3x) + 3$

Теперь решим неравенство $f'(x) > 0$:

$-6\sin(3x) + 3 > 0$

Перенесем $6\sin(3x)$ в правую часть:

$3 > 6\sin(3x)$

Разделим обе части на 6:

$\frac{3}{6} > \sin(3x)$

$\sin(3x) < \frac{1}{2}$

Для решения этого тригонометрического неравенства введем замену $t = 3x$. Неравенство примет вид $\sin(t) < \frac{1}{2}$.

На единичной окружности синус равен $1/2$ в точках, соответствующих углам $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{5\pi}{6}$. Синус (ордината точки на окружности) будет меньше $1/2$ для углов, находящихся в интервале от $\frac{5\pi}{6}$ до $\frac{\pi}{6}$ следующего оборота, то есть до $2\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{13\pi}{6}$.

Таким образом, общее решение для $t$ имеет вид:

$\frac{5\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{13\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Произведем обратную замену $t = 3x$:

$\frac{5\pi}{6} + 2\pi n < 3x < \frac{13\pi}{6} + 2\pi n$

Чтобы найти $x$, разделим все части неравенства на 3:

$\frac{5\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} < x < \frac{13\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in \left(\frac{5\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}; \frac{13\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}\right), n \in \mathbb{Z}$.

2) Дана функция $f(x) = -x^3 + 12x + 1$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования степенной функции:

$f'(x) = (-x^3 + 12x + 1)' = -3x^2 + 12$.

Теперь решим неравенство $f'(x) > 0$:

$-3x^2 + 12 > 0$

Перенесем 12 в правую часть:

$-3x^2 > -12$

Разделим обе части на -3, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$x^2 < 4$

Данное неравенство можно переписать как $x^2 - 4 < 0$. Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:

$(x-2)(x+2) < 0$

Решим это квадратичное неравенство методом интервалов. Корни уравнения $(x-2)(x+2) = 0$ равны $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; 2)$ и $(2; +\infty)$.

Проверим знак выражения $(x-2)(x+2)$ в каждом интервале:

• При $x < -2$ (например, $x=-3$): $(-3-2)(-3+2) = (-5)(-1) = 5 > 0$.
• При $-2 < x < 2$ (например, $x=0$): $(0-2)(0+2) = (-2)(2) = -4 < 0$.
• При $x > 2$ (например, $x=3$): $(3-2)(3+2) = (1)(5) = 5 > 0$.

Неравенство выполняется на интервале, где выражение отрицательно.

Следовательно, решением является интервал $(-2; 2)$.

Ответ: $x \in (-2; 2)$.