Номер 16.11, страница 135 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

16.11. При каких действительных значениях x и y комплексные числа будут сопряженными:

1) $24 - yi$ и $2x - 3\sqrt{5}i$;

2) $-8 + yi$ и $\sqrt{2x} - 4i$.

3) $3 + \sqrt{2}yi$ и $2x + (4 + \sqrt{2})i$;

4) $3 - \sqrt{3} - \sqrt{2}yi$ и $3x + 4i?

Два комплексных числа $z_1 = a + bi$ и $z_2 = c + di$ являются комплексно-сопряженными, если их действительные части равны ($a=c$), а мнимые части противоположны по знаку ($b=-d$). Используем это свойство для решения каждого пункта.

1) Даны комплексные числа $z_1 = 24 - yi$ и $z_2 = 2x - 3\sqrt{5}i$.

Действительная часть первого числа $Re(z_1) = 24$, мнимая часть $Im(z_1) = -y$.

Действительная часть второго числа $Re(z_2) = 2x$, мнимая часть $Im(z_2) = -3\sqrt{5}$.

Для того чтобы числа были сопряженными, должны выполняться условия:

1. $Re(z_1) = Re(z_2) \implies 24 = 2x$

2. $Im(z_1) = -Im(z_2) \implies -y = -(-3\sqrt{5})$

Из первого уравнения находим $x$:

$x = \frac{24}{2} = 12$.

Из второго уравнения находим $y$:

$-y = 3\sqrt{5} \implies y = -3\sqrt{5}$.

Таким образом, числа сопряжены при $x = 12$ и $y = -3\sqrt{5}$.

Ответ: $x = 12$, $y = -3\sqrt{5}$.

2) Даны комплексные числа $z_1 = -8 + yi$ и $z_2 = \sqrt{2x} - 4i$.

Действительная часть $Re(z_1) = -8$, мнимая часть $Im(z_1) = y$.

Действительная часть $Re(z_2) = \sqrt{2x}$, мнимая часть $Im(z_2) = -4$.

Условия сопряженности:

1. $Re(z_1) = Re(z_2) \implies -8 = \sqrt{2x}$

2. $Im(z_1) = -Im(z_2) \implies y = -(-4) = 4$

Рассмотрим первое уравнение. По определению, $x$ - действительное число. Арифметический квадратный корень $\sqrt{2x}$ определен для $2x \ge 0$, то есть $x \ge 0$. При этом значение корня всегда неотрицательно: $\sqrt{2x} \ge 0$. Уравнение $\sqrt{2x} = -8$ не имеет решений в действительных числах, так как неотрицательная величина не может равняться отрицательной.

Следовательно, не существует такого действительного значения $x$, при котором числа будут сопряженными.

Ответ: не существует таких действительных значений $x$ и $y$.

3) Даны комплексные числа $z_1 = 3 + \sqrt{2y}i$ и $z_2 = 2x + (4 + \sqrt{2})i$.

Действительная часть $Re(z_1) = 3$, мнимая часть $Im(z_1) = \sqrt{2y}$.

Действительная часть $Re(z_2) = 2x$, мнимая часть $Im(z_2) = 4 + \sqrt{2}$.

Условия сопряженности:

1. $Re(z_1) = Re(z_2) \implies 3 = 2x$

2. $Im(z_1) = -Im(z_2) \implies \sqrt{2y} = -(4 + \sqrt{2})$

Из первого уравнения $x = \frac{3}{2}$.

Рассмотрим второе уравнение. Правая часть $-(4 + \sqrt{2})$ является отрицательным числом. Левая часть $\sqrt{2y}$ (где $y$ - действительное число) по определению арифметического корня не может быть отрицательной. Следовательно, это уравнение не имеет решений в действительных числах.

Таким образом, не существует таких действительных значений $x$ и $y$, при которых числа будут сопряженными.

Ответ: не существует таких действительных значений $x$ и $y$.

4) Даны комплексные числа $z_1 = 3 - \sqrt{3} - \sqrt{2y}i$ и $z_2 = 3x + 4i$.

Выделим действительную и мнимую части первого числа:

$Re(z_1) = 3 - \sqrt{3}$, $Im(z_1) = -\sqrt{2y}$.

Для второго числа:

$Re(z_2) = 3x$, $Im(z_2) = 4$.

Условия сопряженности:

1. $Re(z_1) = Re(z_2) \implies 3 - \sqrt{3} = 3x$

2. $Im(z_1) = -Im(z_2) \implies -\sqrt{2y} = -4$

Из первого уравнения находим $x$:

$x = \frac{3 - \sqrt{3}}{3} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Из второго уравнения находим $y$:

$\sqrt{2y} = 4$

Возведя обе части в квадрат, получим:

$2y = 16 \implies y = 8$.

Данное значение $y$ удовлетворяет области определения корня ($2y \ge 0$).

Таким образом, числа сопряжены при $x = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$ и $y = 8$.

Ответ: $x = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$, $y = 8$.