Номер 16.16, страница 135 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

16.16. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

1) $f(x) = 3 - x^2$ и $f(x) = 1 + |x|$;

2) $f(x) = x^2$ и $f(x) = 2 - |x|$.

1) Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций $f(x) = 3 - x^2$ и $g(x) = 1 + |x|$, сначала найдем точки их пересечения. Для этого решим уравнение $f(x) = g(x)$: $3 - x^2 = 1 + |x|$. Обе функции являются четными, так как $f(-x) = 3 - (-x)^2 = 3 - x^2 = f(x)$ и $g(-x) = 1 + |-x| = 1 + |x| = g(x)$. Это означает, что фигура симметрична относительно оси OY. Мы можем найти точки пересечения для $x \ge 0$ и использовать симметрию. При $x \ge 0$ уравнение принимает вид $3 - x^2 = 1 + x$, или $x^2 + x - 2 = 0$. Корнями этого квадратного уравнения являются $x = 1$ и $x = -2$. Так как мы рассматриваем случай $x \ge 0$, нам подходит только корень $x = 1$. В силу симметрии, вторая точка пересечения будет при $x = -1$. Таким образом, графики пересекаются в точках с абсциссами $x = -1$ и $x = 1$. Чтобы определить, какая функция находится выше на интервале $(-1, 1)$, подставим в обе функции значение $x=0$: $f(0) = 3 - 0^2 = 3$ и $g(0) = 1 + |0| = 1$. Так как $f(0) > g(0)$, функция $f(x)$ является верхней. Площадь фигуры вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций: $S = \int_{-1}^{1} (f(x) - g(x)) dx = \int_{-1}^{1} ((3 - x^2) - (1 + |x|)) dx = \int_{-1}^{1} (2 - x^2 - |x|) dx$. Так как подынтегральная функция $2 - x^2 - |x|$ является четной, мы можем упростить вычисление: $S = 2 \int_{0}^{1} (2 - x^2 - x) dx$. Вычисляем интеграл: $S = 2 \left[ 2x - \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = 2 \left( (2 \cdot 1 - \frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2}) - 0 \right) = 2 \left( 2 - \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \right) = 2 \left( \frac{12 - 2 - 3}{6} \right) = 2 \left( \frac{7}{6} \right) = \frac{7}{3}$.

Ответ: $\frac{7}{3}$.

2) Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций $f(x) = x^2$ и $g(x) = 2 - |x|$, найдем точки их пересечения из уравнения $f(x) = g(x)$: $x^2 = 2 - |x|$. Обе функции, $f(x)$ и $g(x)$, являются четными, поэтому фигура симметрична относительно оси OY. Решим уравнение для $x \ge 0$, где $|x| = x$: $x^2 = 2 - x$, что равносильно $x^2 + x - 2 = 0$. Корни этого уравнения: $x = 1$ и $x = -2$. Условию $x \ge 0$ удовлетворяет только $x = 1$. В силу симметрии, вторая точка пересечения имеет абсциссу $x = -1$. Пределы интегрирования — от -1 до 1. Определим, какая из функций находится выше на этом интервале. Возьмем $x=0$: $f(0) = 0^2 = 0$ и $g(0) = 2 - |0| = 2$. Так как $g(0) > f(0)$, функция $g(x)$ является верхней. Площадь фигуры $S$ равна: $S = \int_{-1}^{1} (g(x) - f(x)) dx = \int_{-1}^{1} ((2 - |x|) - x^2) dx = \int_{-1}^{1} (2 - x^2 - |x|) dx$. Подынтегральная функция $2 - x^2 - |x|$ является четной, поэтому можно вычислить интеграл на отрезке $[0, 1]$ и удвоить результат: $S = 2 \int_{0}^{1} (2 - x - x^2) dx$. Вычисляем интеграл: $S = 2 \left[ 2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = 2 \left( (2 \cdot 1 - \frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3}) - 0 \right) = 2 \left( 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) = 2 \left( \frac{12 - 3 - 2}{6} \right) = 2 \left( \frac{7}{6} \right) = \frac{7}{3}$.

Ответ: $\frac{7}{3}$.