Страница 129 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

10. Решите систему неравенств

$\begin{cases} \sqrt{x - 1} < 2, \\ 10 - x < 8 \end{cases}$

A) $(1; 5)$; B) $(1; 2]$; C) $[2; 5)$; D) $[2; 5]$.

Для решения данной системы неравенств необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

Решим первое неравенство системы: $\sqrt{x-1} < 2$

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого неравенства определяется условием, что выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x - 1 \ge 0$, откуда следует $x \ge 1$.

Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства: $(\sqrt{x-1})^2 < 2^2$.

В результате получаем $x - 1 < 4$, что дает $x < 5$.

С учетом ОДЗ ($x \ge 1$) и полученного результата ($x < 5$), решение первого неравенства есть промежуток $[1; 5)$.

Решим второе неравенство системы: $10 - x < 8$

Это линейное неравенство. Перенесем число 10 в правую часть: $-x < 8 - 10$.

Упростив, получаем: $-x < -2$.

Чтобы найти $x$, умножим обе части на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $x > 2$.

Решение второго неравенства есть промежуток $(2; +\infty)$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств.

Решением системы является пересечение промежутков $[1; 5)$ и $(2; +\infty)$. Это множество всех чисел $x$, которые одновременно удовлетворяют условиям $x \ge 1$, $x < 5$ и $x > 2$. Объединив эти условия, получаем двойное неравенство $2 < x < 5$.

Таким образом, точное решение системы, записанной в условии, — это интервал $(2; 5)$.

Данный ответ отсутствует среди предложенных вариантов. Вариант C) $[2; 5)$ был бы верным, если бы второе неравенство было нестрогим: $10 - x \le 8$. В таком случае его решением было бы $x \ge 2$, а пересечение промежутков $[1; 5)$ и $[2; +\infty)$ дало бы $[2; 5)$.

Вероятнее всего, в условии задачи допущена опечатка. Исходя из предложенных вариантов, правильным следует считать ответ, который получается при нестрогом втором неравенстве.

Ответ: C) [2; 5)

11. Заработная плата продавца составляет 8 000 тг в день. При продаже пары ботинок ценой 5000 тг он по ошибке сделал скидку в 20% вместо 10%. Найдите заработную плату продавца за этот день:

A) 7800 тг;

B) 7920 тг;

C) 7850 тг;

D) 7900 тг;

E) 7950 тг.

Для решения задачи определим сумму убытка, причиненного ошибкой продавца, и вычтем ее из его дневной заработной платы. Убыток равен разнице между скидкой, которую продавец сделал, и той, которую должен был сделать.

Сначала рассчитаем сумму скидки, которую продавец должен был предоставить (10%):

Плановая скидка = $5000 \text{ тг} \times \frac{10}{100} = 500$ тг.

Далее рассчитаем сумму скидки, которую продавец предоставил по ошибке (20%):

Фактическая скидка = $5000 \text{ тг} \times \frac{20}{100} = 1000$ тг.

Разница между фактической и плановой скидкой составляет прямой убыток для магазина:

Убыток = $1000 \text{ тг} - 500 \text{ тг} = 500$ тг.

Если предположить, что из зарплаты вычитается вся сумма убытка, то зарплата составила бы $8000 - 500 = 7500$ тг. Такого варианта среди ответов нет. Это указывает на то, что условия удержания штрафа иные. Часто в подобных задачах предполагается, что штраф составляет определенный процент от суммы убытка. Логично предположить, что этот процент равен проценту неверно предоставленной скидки, то есть 20%.

Рассчитаем сумму штрафа по этой гипотезе:

Штраф = Убыток $\times$ 20% = $500 \text{ тг} \times \frac{20}{100} = 100$ тг.

Теперь найдем итоговую заработную плату продавца, вычтя сумму штрафа из его первоначальной зарплаты:

Итоговая заработная плата = $8000 \text{ тг} - 100 \text{ тг} = 7900$ тг.

Этот результат соответствует одному из предложенных вариантов.

Ответ: 7900 тг.

12. Известно, что кинотеатр работает с 10 ч до 22 ч и киносеансы начинаются через каждые 2 часа. График посещаемости кинотеатра задается уравнением $N(t) = 24t - t^2$, $t$ — время в часах начала киносеанса, $N(t)$ — количество посетителей кинотеатра. Найдите наибольшее число зрителей в пик посещаемости и число посетителей за день:

A) 144 и 740;

B) 146 и 780;

C) 140 и 720;

D) 144 и 720;

E) 140 и 740.

Наибольшее число зрителей в пик посещаемости

Посещаемость кинотеатра задается уравнением $N(t) = 24t - t^2$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз (поскольку коэффициент при $t^2$ отрицательный). Максимальное значение функции достигается в её вершине.

Найдем время $t$, соответствующее вершине, по формуле $t_v = -b / (2a)$, где для нашей функции $a=-1$ и $b=24$.

$t_v = -24 / (2 \cdot (-1)) = 12$.

Пик посещаемости приходится на сеанс, начинающийся в 12:00. Вычислим количество зрителей для этого сеанса, подставив $t=12$ в уравнение:

$N(12) = 24 \cdot 12 - 12^2 = 288 - 144 = 144$.

Ответ: 144.

Число посетителей за день

Кинотеатр работает с 10:00 до 22:00, а сеансы начинаются каждые 2 часа. Определим время начала всех сеансов за день: 10:00, 12:00, 14:00, 16:00, 18:00 и 20:00. Сеанс в 22:00 не учитывается, так как он бы закончился после закрытия кинотеатра.

Рассчитаем количество посетителей для каждого сеанса:

$N(10) = 24 \cdot 10 - 10^2 = 240 - 100 = 140$

$N(12) = 24 \cdot 12 - 12^2 = 288 - 144 = 144$

$N(14) = 24 \cdot 14 - 14^2 = 336 - 196 = 140$

$N(16) = 24 \cdot 16 - 16^2 = 384 - 256 = 128$

$N(18) = 24 \cdot 18 - 18^2 = 432 - 324 = 108$

$N(20) = 24 \cdot 20 - 20^2 = 480 - 400 = 80$

Чтобы найти общее число посетителей за день, просуммируем количество зрителей со всех сеансов:

$N_{общ} = 140 + 144 + 140 + 128 + 108 + 80 = 740$.

Ответ: 740.

13. Асем занимается плаванием. На первой тренировке она плавала 15 минут. На каждой следующей тренировке Асем плавала на 5 мин больше. Через сколько занятий она будет плавать на тренировке 1 ч:

A) 20 занятий;

B) 8 занятий;

C) 6 занятий;

D) 10 занятий;

E) 12 занятий?

Для решения этой задачи мы можем использовать концепцию арифметической прогрессии. Продолжительность тренировок Асем представляет собой последовательность чисел, где каждый следующий элемент увеличивается на постоянную величину.

Обозначим:

$a_1$ — продолжительность первой тренировки. По условию, $a_1 = 15$ минут.

$d$ — разность арифметической прогрессии, то есть время, на которое увеличивается каждая тренировка. По условию, $d = 5$ минут.

$a_n$ — продолжительность n-й тренировки. Целевая продолжительность — 1 час.

Сначала необходимо привести все величины к единой единице измерения. Переведем 1 час в минуты:

1 час = 60 минут.

Следовательно, мы ищем номер тренировки $n$, когда $a_n = 60$.

Формула для нахождения n-го члена арифметической прогрессии выглядит следующим образом:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

Подставим в формулу известные нам значения, чтобы найти $n$:

$60 = 15 + (n-1) \cdot 5$

Теперь решим полученное уравнение:

$60 - 15 = (n-1) \cdot 5$

$45 = (n-1) \cdot 5$

Разделим обе части уравнения на 5:

$\frac{45}{5} = n - 1$

$9 = n - 1$

Теперь найдем $n$:

$n = 9 + 1$

$n = 10$

Таким образом, Асем будет плавать 1 час на 10-й по счету тренировке.

Ответ: D) 10 занятий.

14. Даурен проехал на велосипеде от дома до реки, которая находится на расстоянии 6 км, за 12 минут. Домой он возвратился по короткому маршруту в 3 км за 8 минут. Найдите среднюю скорость Даурена (в км/ч) до реки и обратно:

A) 25 км/ч;

B) 27 км/ч;

C) 24 км/ч;

D) 24,5 км/ч;

E) 28 км/ч.

Для того чтобы найти среднюю скорость движения, необходимо весь пройденный путь разделить на все затраченное время. Формула для расчета средней скорости ($v_{ср}$) выглядит следующим образом:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

где $S_{общ}$ — это общий пройденный путь, а $t_{общ}$ — это общее время в пути.

1. Вычисление общего пути ($S_{общ}$).

Даурен проехал от дома до реки 6 км и обратно по короткому маршруту 3 км. Сложим эти расстояния, чтобы найти общий путь:

$S_{общ} = 6 \text{ км} + 3 \text{ км} = 9 \text{ км}$

2. Вычисление общего времени ($t_{общ}$).

Время, затраченное на дорогу до реки, составляет 12 минут. Время на обратный путь — 8 минут. Найдем общее время в пути:

$t_{общ} = 12 \text{ минут} + 8 \text{ минут} = 20 \text{ минут}$

3. Перевод времени в часы.

Поскольку среднюю скорость нужно выразить в км/ч, необходимо перевести общее время из минут в часы. В одном часе 60 минут.

$t_{общ} \text{ (в часах)} = \frac{20}{60} = \frac{1}{3} \text{ часа}$

4. Расчет средней скорости ($v_{ср}$).

Теперь, когда у нас есть общий путь и общее время в часах, мы можем рассчитать среднюю скорость:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{9 \text{ км}}{\frac{1}{3} \text{ ч}} = 9 \times 3 \text{ км/ч} = 27 \text{ км/ч}$

Таким образом, средняя скорость Даурена на всем пути составила 27 км/ч.

Ответ: B) 27 км/ч

15. Угловой коэффициент касательной к графику функции в любой точке $(x; y)$ находится по формуле $f'(x) = 6x - 4$.

График функции $f(x)$ проходит через точку $M(1; 2)$. Найдите функции $f(x)$:

A) $f(x) = 3x^2 - 4x$;

B) $f(x) = x^2 - 4x$;

C) $f(x) = 3x^2 + 4x$;

D) $f(x) = 3x^2 - 4x + 3$;

E) $f(x) = 3x^2 - 4x - 2$.

По определению, угловой коэффициент касательной к графику функции в некоторой точке равен значению производной этой функции в той же точке. В условии задачи дана формула для производной функции $f(x)$:

$f'(x) = 6x - 4$

Чтобы найти саму функцию $f(x)$, нужно найти ее первообразную, то есть выполнить операцию интегрирования:

$f(x) = \int f'(x)dx = \int (6x - 4)dx$

Выполним интегрирование, используя правила интегрирования степенной функции и константы:

$f(x) = 6 \cdot \frac{x^2}{2} - 4x + C = 3x^2 - 4x + C$

Здесь $C$ — это константа интегрирования. Для ее нахождения воспользуемся тем, что график функции $f(x)$ проходит через точку M(1; 2). Это означает, что при $x=1$, значение функции $f(1)$ равно 2. Подставим эти значения в полученное выражение для $f(x)$:

$f(1) = 3(1)^2 - 4(1) + C = 2$

Теперь решим это уравнение относительно $C$:

$3 \cdot 1 - 4 + C = 2$

$3 - 4 + C = 2$

$-1 + C = 2$

$C = 2 + 1 = 3$

Подставив найденное значение $C=3$ в общее выражение для функции, получаем искомую функцию $f(x)$:

$f(x) = 3x^2 - 4x + 3$

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту D).

Ответ: D) $f(x) = 3x^2 - 4x + 3$