Страница 127 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

15.6. 1) $\sqrt{x-6} \cdot \sqrt{x-12} < x-1$;

2) $\sqrt{1-x} \cdot \sqrt{1+x} < 0$;

3) $\sqrt{x^2-x-2} < x$;

4) $\sqrt{x^2-3x+2} > x+3$.

1) Решим неравенство $\sqrt{x-6} \cdot \sqrt{x-12} < x-1$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$ \begin{cases} x-6 \ge 0 \\ x-12 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 6 \\ x \ge 12 \end{cases} \implies x \ge 12 $.

При $x \ge 12$ левая часть неравенства $\sqrt{x-6} \cdot \sqrt{x-12}$ является произведением неотрицательных чисел и, следовательно, неотрицательна. Правая часть $x-1$ также положительна, так как $x \ge 12 \implies x-1 \ge 11 > 0$.

Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат:

$(\sqrt{x-6} \cdot \sqrt{x-12})^2 < (x-1)^2$

$(x-6)(x-12) < (x-1)^2$

$x^2 - 12x - 6x + 72 < x^2 - 2x + 1$

$x^2 - 18x + 72 < x^2 - 2x + 1$

Перенесем члены с $x$ в одну сторону, а константы в другую:

$72 - 1 < 18x - 2x$

$71 < 16x$

$x > \frac{71}{16}$

$x > 4.4375$

Теперь необходимо найти пересечение полученного решения с ОДЗ: $x \ge 12$ и $x > 4.4375$.

Пересечением этих двух условий является $x \ge 12$.

Ответ: $x \in [12, +\infty)$.

2) Решим неравенство $\sqrt{1-x} \cdot \sqrt{1+x} < 0$.

Найдем ОДЗ:

$ \begin{cases} 1-x \ge 0 \\ 1+x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 1 \\ x \ge -1 \end{cases} \implies x \in [-1, 1] $.

В области допустимых значений оба множителя $\sqrt{1-x}$ и $\sqrt{1+x}$ неотрицательны. Их произведение $\sqrt{1-x} \cdot \sqrt{1+x}$ также всегда неотрицательно, то есть $\sqrt{1-x} \cdot \sqrt{1+x} \ge 0$.

Неравенство требует, чтобы это произведение было строго меньше нуля, что невозможно. Следовательно, у данного неравенства нет решений.

Ответ: $\emptyset$ (нет решений).

3) Решим неравенство $\sqrt{x^2 - x - 2} < x$.

Данное иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$ равносильно системе из трех неравенств:

$ \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) > 0 \\ f(x) < (g(x))^2 \end{cases} $

Подставим наши функции:

$ \begin{cases} x^2 - x - 2 \ge 0 \\ x > 0 \\ x^2 - x - 2 < x^2 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы:

1. $x^2 - x - 2 \ge 0$. Корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$ равны $x_1=2$ и $x_2=-1$. Так как это парабола с ветвями вверх, решение неравенства: $x \in (-\infty, -1] \cup [2, \infty)$.

2. $x > 0$.

3. $x^2 - x - 2 < x^2 \implies -x - 2 < 0 \implies -x < 2 \implies x > -2$.

Теперь найдем пересечение всех трех решений: $x \in ((-\infty, -1] \cup [2, \infty)) \cap (0, \infty) \cap (-2, \infty)$.

Пересечение $(0, \infty)$ и $(-2, \infty)$ дает $(0, \infty)$.

Пересечение $(0, \infty)$ с $(-\infty, -1] \cup [2, \infty)$ дает $[2, \infty)$.

Ответ: $x \in [2, +\infty)$.

4) Решим неравенство $\sqrt{x^2 - 3x + 2} > x + 3$.

Данное иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$ равносильно совокупности двух систем:

Система 1: Когда правая часть отрицательна. Неравенство будет верным для всех $x$ из ОДЗ.

$ \begin{cases} x+3 < 0 \\ x^2 - 3x + 2 \ge 0 \end{cases} $

Система 2: Когда правая часть неотрицательна. Можно возвести в квадрат.

$ \begin{cases} x+3 \ge 0 \\ x^2 - 3x + 2 > (x+3)^2 \end{cases} $

Решим каждую систему.

Система 1:

$x+3 < 0 \implies x < -3$.

$x^2 - 3x + 2 \ge 0$. Корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$ равны $x_1=1$ и $x_2=2$. Решение неравенства: $x \in (-\infty, 1] \cup [2, \infty)$.

Пересечение $x < -3$ и $x \in (-\infty, 1] \cup [2, \infty)$ дает $x \in (-\infty, -3)$.

Система 2:

$x+3 \ge 0 \implies x \ge -3$.

$x^2 - 3x + 2 > (x+3)^2$

$x^2 - 3x + 2 > x^2 + 6x + 9$

$-3x + 2 > 6x + 9$

$-7 > 9x$

$x < -\frac{7}{9}$

Пересечение $x \ge -3$ и $x < -\frac{7}{9}$ дает $x \in [-3, -\frac{7}{9})$.

Общее решение является объединением решений двух систем: $(-\infty, -3) \cup [-3, -\frac{7}{9})$.

Объединяя эти интервалы, получаем $(-\infty, -\frac{7}{9})$.

Ответ: $x \in (-\infty, -7/9)$.

Решите неравенства (15.7–15.8):

15.7.1) $\sqrt{x+3} < \sqrt{x-1} + \sqrt{x-2}$;

2) $\sqrt{x+3} + \sqrt{x-2} - \sqrt{2x+4} > 0.

1) $\sqrt{x+3} < \sqrt{x-1} + \sqrt{x-2}$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Все подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} x+3 \ge 0 \\ x-1 \ge 0 \\ x-2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -3 \\ x \ge 1 \\ x \ge 2 \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x \ge 2$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [2, +\infty)$.

В области допустимых значений обе части неравенства неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:

$(\sqrt{x+3})^2 < (\sqrt{x-1} + \sqrt{x-2})^2$

$x+3 < (x-1) + 2\sqrt{(x-1)(x-2)} + (x-2)$

$x+3 < 2x - 3 + 2\sqrt{x^2 - 3x + 2}$

Перенесем слагаемые, чтобы уединить корень:

$3 + 3 - x < 2\sqrt{x^2 - 3x + 2}$

$6 - x < 2\sqrt{x^2 - 3x + 2}$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Левая часть отрицательна. Это происходит при $6 - x < 0$, то есть $x > 6$.

В этом случае неравенство очевидно выполняется, так как отрицательное число всегда меньше неотрицательного (значение квадратного корня). Учитывая ОДЗ ($x \ge 2$), решение для этого случая: $x > 6$.

Случай 2: Левая часть неотрицательна. Это происходит при $6 - x \ge 0$, то есть $x \le 6$.

С учетом ОДЗ, рассматриваем интервал $2 \le x \le 6$. На этом интервале обе части неравенства неотрицательны, и мы можем снова возвести их в квадрат:

$(6 - x)^2 < (2\sqrt{x^2 - 3x + 2})^2$

$36 - 12x + x^2 < 4(x^2 - 3x + 2)$

$36 - 12x + x^2 < 4x^2 - 12x + 8$

$36 - 8 < 4x^2 - x^2$

$28 < 3x^2$

$x^2 > \frac{28}{3}$

Это равносильно $x > \sqrt{\frac{28}{3}}$ или $x < -\sqrt{\frac{28}{3}}$.

Так как мы рассматриваем интервал $2 \le x \le 6$, отрицательное решение $x < -\sqrt{\frac{28}{3}}$ нас не интересует. Сравним $\sqrt{\frac{28}{3}}$ с 2: $\frac{28}{3} \approx 9.33 > 4=2^2$, следовательно $\sqrt{\frac{28}{3}} > 2$.

Решение для этого случая получается пересечением условий $x > \sqrt{\frac{28}{3}}$ и $2 \le x \le 6$, что дает $\sqrt{\frac{28}{3}} < x \le 6$.

Объединим решения из обоих случаев:

$(\sqrt{\frac{28}{3}}, 6] \cup (6, +\infty)$

Это дает нам итоговый интервал $(\sqrt{\frac{28}{3}}, +\infty)$. Преобразуем $\sqrt{\frac{28}{3}} = \frac{\sqrt{28}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{21}}{3}$.

Ответ: $(\frac{2\sqrt{21}}{3}, +\infty)$.

2) $\sqrt{x+3} + \sqrt{x-2} - \sqrt{2x+4} > 0$

Перепишем неравенство в виде $\sqrt{x+3} + \sqrt{x-2} > \sqrt{2x+4}$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} x+3 \ge 0 \\ x-2 \ge 0 \\ 2x+4 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -3 \\ x \ge 2 \\ x \ge -2 \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x \ge 2$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [2, +\infty)$.

В области допустимых значений обе части неравенства $\sqrt{x+3} + \sqrt{x-2} > \sqrt{2x+4}$ неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат:

$(\sqrt{x+3} + \sqrt{x-2})^2 > (\sqrt{2x+4})^2$

$(x+3) + 2\sqrt{(x+3)(x-2)} + (x-2) > 2x+4$

$2x + 1 + 2\sqrt{x^2 + x - 6} > 2x+4$

Упростим, уединив корень:

$2\sqrt{x^2 + x - 6} > 3$

Обе части этого неравенства положительны, возведем их в квадрат еще раз:

$(2\sqrt{x^2 + x - 6})^2 > 3^2$

$4(x^2 + x - 6) > 9$

$4x^2 + 4x - 24 > 9$

$4x^2 + 4x - 33 > 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $4x^2 + 4x - 33 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(4)(-33) = 16 + 528 = 544$.

$\sqrt{D} = \sqrt{544} = \sqrt{16 \cdot 34} = 4\sqrt{34}$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{34}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{34}}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{34}}{2}$.

$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{34}}{2}$ и $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{34}}{2}$.

Так как ветви параболы $y = 4x^2 + 4x - 33$ направлены вверх, неравенство $4x^2 + 4x - 33 > 0$ выполняется при $x < x_1$ или $x > x_2$.

То есть $x < \frac{-1 - \sqrt{34}}{2}$ или $x > \frac{-1 + \sqrt{34}}{2}$.

Теперь нужно пересечь это решение с ОДЗ: $x \ge 2$.

Оценим значения корней: $\sqrt{25} < \sqrt{34} < \sqrt{36}$, т.е. $5 < \sqrt{34} < 6$.

$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{34}}{2} < \frac{-1-5}{2} = -3$. Этот корень меньше 2.

$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{34}}{2}$. Сравним его с 2: $\frac{-1 + \sqrt{34}}{2} > 2 \iff -1 + \sqrt{34} > 4 \iff \sqrt{34} > 5 \iff 34 > 25$. Это верно. Значит, $x_2 > 2$.

Итак, из двух интервалов $(-\infty, \frac{-1 - \sqrt{34}}{2})$ и $(\frac{-1 + \sqrt{34}}{2}, +\infty)$ с ОДЗ ($x \ge 2$) пересекается только второй.

Решением является $x > \frac{-1 + \sqrt{34}}{2}$.

Ответ: $(\frac{-1 + \sqrt{34}}{2}, +\infty)$.

15.8.1) $ \sqrt{5x+6} - \sqrt{x+1} > \sqrt{2x-5} $;

2) $ \sqrt{x^2-8x+15} > \sqrt{4x^2-18x+18} - \sqrt{x^2+2x-15} $.

1)

Решим иррациональное неравенство $\sqrt{5x + 6} - \sqrt{x + 1} > \sqrt{2x - 5}$.

В первую очередь, определим область допустимых значений (ОДЗ), для которой все подкоренные выражения неотрицательны:

$\begin{cases} 5x + 6 \ge 0 \\ x + 1 \ge 0 \\ 2x - 5 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -6/5 \\ x \ge -1 \\ x \ge 5/2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1.2 \\ x \ge -1 \\ x \ge 2.5 \end{cases}$

Общей областью для всех трех условий является $x \ge 2.5$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [2.5, +\infty)$.

Перепишем исходное неравенство, перенеся член $\sqrt{x+1}$ в правую часть, чтобы с обеих сторон были положительные величины:

$\sqrt{5x + 6} > \sqrt{2x - 5} + \sqrt{x + 1}$

Поскольку в найденной ОДЗ обе части неравенства являются неотрицательными, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:

$(\sqrt{5x + 6})^2 > (\sqrt{2x - 5} + \sqrt{x + 1})^2$

$5x + 6 > (2x - 5) + 2\sqrt{(2x - 5)(x + 1)} + (x + 1)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$5x + 6 > 3x - 4 + 2\sqrt{2x^2 + 2x - 5x - 5}$

$5x + 6 > 3x - 4 + 2\sqrt{2x^2 - 3x - 5}$

Изолируем оставшийся радикал:

$5x - 3x + 6 + 4 > 2\sqrt{2x^2 - 3x - 5}$

$2x + 10 > 2\sqrt{2x^2 - 3x - 5}$

Разделим обе части на 2:

$x + 5 > \sqrt{2x^2 - 3x - 5}$

В нашей ОДЗ ($x \ge 2.5$) левая часть $x+5$ всегда положительна. Подкоренное выражение $2x^2 - 3x - 5 = (x-2.5)(2x+2)$ также неотрицательно. Следовательно, мы можем снова возвести обе части в квадрат:

$(x + 5)^2 > 2x^2 - 3x - 5$

$x^2 + 10x + 25 > 2x^2 - 3x - 5$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное неравенство:

$0 > x^2 - 13x - 30$ или $x^2 - 13x - 30 < 0$

Для решения найдем корни уравнения $x^2 - 13x - 30 = 0$. Используя дискриминант $D = (-13)^2 - 4(1)(-30) = 169 + 120 = 289 = 17^2$, получаем корни:

$x_{1,2} = \frac{13 \pm 17}{2}$, то есть $x_1 = 15$ и $x_2 = -2$.

Так как ветви параболы $y = x^2 - 13x - 30$ направлены вверх, неравенство $x^2 - 13x - 30 < 0$ выполняется на интервале между корнями: $x \in (-2, 15)$.

Наконец, найдем пересечение этого решения с ОДЗ $x \in [2.5, +\infty)$:

$(-2, 15) \cap [2.5, +\infty) = [2.5, 15)$

Ответ: $[2.5, 15)$.

2)

Решим неравенство $\sqrt{x^2 - 8x + 15} > \sqrt{4x^2 - 18x + 18} - \sqrt{x^2 + 2x - 15}$.

Найдем ОДЗ. Для этого разложим подкоренные выражения на множители:

$x^2 - 8x + 15 = (x-3)(x-5)$

$4x^2 - 18x + 18 = 2(2x^2 - 9x + 9) = 2(x-3)(2x-3)$

$x^2 + 2x - 15 = (x-3)(x+5)$

Условия ОДЗ:

$\begin{cases} (x-3)(x-5) \ge 0 \implies x \in (-\infty, 3] \cup [5, +\infty) \\ 2(x-3)(2x-3) \ge 0 \implies x \in (-\infty, 1.5] \cup [3, +\infty) \\ (x-3)(x+5) \ge 0 \implies x \in (-\infty, -5] \cup [3, +\infty) \end{cases}$

Пересечение этих трех множеств дает нам ОДЗ: $x \in (-\infty, -5] \cup \{3\} \cup [5, +\infty)$.

Перенесем член с отрицательным знаком в левую часть неравенства:

$\sqrt{x^2 - 8x + 15} + \sqrt{x^2 + 2x - 15} > \sqrt{4x^2 - 18x + 18}$

Проверим точку $x=3$, входящую в ОДЗ. Подставляя в исходное неравенство, получаем:

$\sqrt{0} > \sqrt{0} - \sqrt{0} \implies 0 > 0$, что является ложным утверждением. Следовательно, $x=3$ не является решением.

Теперь рассмотрим решение на интервалах $x \in (-\infty, -5] \cup [5, +\infty)$, где $x \ne 3$.

Подставим разложения на множители: $\sqrt{(x-3)(x-5)} + \sqrt{(x-3)(x+5)} > \sqrt{2(x-3)(2x-3)}$.

Это можно записать как $\sqrt{|x-3|}\sqrt{|x-5|} + \sqrt{|x-3|}\sqrt{|x+5|} > \sqrt{|x-3|}\sqrt{|2(2x-3)|}$.

Так как $x \ne 3$, то $\sqrt{|x-3|} > 0$, и мы можем разделить на него обе части неравенства:

$\sqrt{|x-5|} + \sqrt{|x+5|} > \sqrt{|4x-6|}$

Рассмотрим два случая:

а) $x \in [5, +\infty)$. В этом интервале все выражения под модулями неотрицательны, поэтому модули можно убрать:

$\sqrt{x-5} + \sqrt{x+5} > \sqrt{4x-6}$

Возводим в квадрат обе неотрицательные части: $(x-5) + 2\sqrt{(x-5)(x+5)} + (x+5) > 4x-6$

$2x + 2\sqrt{x^2-25} > 4x-6 \implies \sqrt{x^2-25} > x-3$

При $x \ge 5$ правая часть $x-3$ положительна. Снова возводим в квадрат:

$x^2-25 > (x-3)^2 \implies x^2-25 > x^2-6x+9 \implies 6x > 34 \implies x > 17/3$.

Так как $17/3 = 5\frac{2}{3}$, то пересечение решения $x > 17/3$ с интервалом $x \in [5, +\infty)$ дает $x \in (17/3, +\infty)$.

б) $x \in (-\infty, -5]$. В этом интервале выражения $x-5$, $x+5$ и $4x-6$ отрицательны. Раскрываем модули с противоположным знаком:

$\sqrt{-(x-5)} + \sqrt{-(x+5)} > \sqrt{-(4x-6)}$

$\sqrt{5-x} + \sqrt{-x-5} > \sqrt{6-4x}$

Возводим в квадрат обе неотрицательные части: $(5-x) + 2\sqrt{(5-x)(-x-5)} + (-x-5) > 6-4x$

$-2x + 2\sqrt{x^2-25} > 6-4x \implies \sqrt{x^2-25} > 3-x$

При $x \le -5$ правая часть $3-x$ положительна. Возводим в квадрат:

$x^2-25 > (3-x)^2 \implies x^2-25 > 9-6x+x^2 \implies 6x > 34 \implies x > 17/3$.

Решение $x > 17/3$ не имеет пересечения с рассматриваемым интервалом $x \in (-\infty, -5]$. В этом случае решений нет.

Объединяя результаты из всех случаев, получаем окончательное решение.

Ответ: $(17/3, +\infty)$.

15.9. 1) Разложите положительное число a на два положительных слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим.

Указание. Нужно использовать неравенство Коши.

2) Докажите, что $(a+b+c) \cdot (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) > 9$ при положительных $a, b$ и $c$;

3) Докажите, что если $x, y, a$ и $b$ неотрицательные числа, то $\frac{x+y+a+b}{4} \geq \sqrt[4]{xyab}$.

1)Пусть положительное число $a$ представлено в виде суммы двух положительных слагаемых $x$ и $y$. Это означает, что $x > 0$, $y > 0$ и $x+y=a$. Нам необходимо найти максимальное значение их произведения $P = xy$.

Для решения этой задачи воспользуемся неравенством Коши (неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом) для двух неотрицательных чисел:

$\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy}$

Подставим в него известное нам условие $x+y=a$:

$\frac{a}{2} \ge \sqrt{xy}$

Поскольку обе части неравенства положительны, мы можем возвести их в квадрат, не меняя знака неравенства:

$(\frac{a}{2})^2 \ge xy$, или $xy \le \frac{a^2}{4}$

Это означает, что произведение $xy$ имеет максимальное значение, равное $\frac{a^2}{4}$. Максимум достигается в том случае, когда неравенство Коши обращается в равенство, то есть когда числа, для которых оно записано, равны между собой: $x = y$.

Чтобы найти значения $x$ и $y$, решим систему уравнений:

$x+y=a$

$x=y$

Подставляя второе уравнение в первое, получаем $x+x=a$, откуда $2x=a$ и, следовательно, $x = \frac{a}{2}$. Так как $x=y$, то и $y = \frac{a}{2}$.

Ответ: Чтобы произведение было наибольшим, число $a$ нужно разложить на два равных слагаемых, каждое из которых равно $\frac{a}{2}$.

2)Для доказательства данного неравенства применим неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом для трех положительных чисел $a, b, c$.

С одной стороны, для чисел $a, b, c$ справедливо неравенство:

$\frac{a+b+c}{3} \ge \sqrt[3]{abc}$

С другой стороны, для чисел $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ также справедливо неравенство:

$\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{3} \ge \sqrt[3]{\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b} \cdot \frac{1}{c}} = \sqrt[3]{\frac{1}{abc}} = \frac{1}{\sqrt[3]{abc}}$

Перемножим левые и правые части этих двух неравенств. Так как все части являются положительными, знак неравенства сохранится:

$(\frac{a+b+c}{3}) \cdot (\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{3}) \ge \sqrt[3]{abc} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{abc}}$

$\frac{(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})}{9} \ge 1$

Умножив обе части на 9, получаем искомое неравенство:

$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \ge 9$

Равенство достигается тогда и только тогда, когда в обоих исходных неравенствах Коши достигается равенство, то есть при $a=b=c$. Если же числа $a, b, c$ не все равны между собой, то неравенство будет строгим, то есть $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) > 9$. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Неравенство доказывается путем перемножения двух неравенств Коши: одного для чисел $a,b,c$ и другого для чисел $\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}$.

3)Данное неравенство является классическим примером неравенства Коши (неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом), примененного к четырем неотрицательным числам.

Общая формулировка неравенства Коши для $n$ неотрицательных чисел $x_1, x_2, \dots, x_n$ гласит, что их среднее арифметическое не меньше их среднего геометрического:

$\frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \ge \sqrt[n]{x_1 x_2 \dots x_n}$

В данной задаче у нас есть четыре неотрицательных числа: $x, y, a, b$. Применим к ним неравенство Коши для случая $n=4$:

$\frac{x+y+a+b}{4} \ge \sqrt[4]{xyab}$

Это в точности то неравенство, которое требовалось доказать. Равенство в данном неравенстве достигается только в том случае, когда все числа равны между собой, то есть при $x=y=a=b$.

Ответ: Данное утверждение является прямым следствием и частным случаем неравенства Коши для четырех неотрицательных чисел.

15.10. Докажите неравенство $\sqrt[3]{\frac{x^3 + y^3}{2}} > \frac{x+y}{2}$ $(x > 0, y > 0)$.

Для доказательства неравенства $\sqrt[3]{\frac{x^3 + y^3}{2}} > \frac{x+y}{2}$ при $x > 0, y > 0$, произведем равносильные преобразования.

Поскольку обе части неравенства положительны (так как $x > 0$ и $y > 0$), мы можем возвести обе части в третью степень. Знак неравенства при этом не изменится.

$\left(\sqrt[3]{\frac{x^3 + y^3}{2}}\right)^3 > \left(\frac{x+y}{2}\right)^3$

$\frac{x^3 + y^3}{2} > \frac{(x+y)^3}{8}$

Умножим обе части неравенства на 8, чтобы избавиться от знаменателей:

$4(x^3 + y^3) > (x+y)^3$

Раскроем скобки в правой части, используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:

$4x^3 + 4y^3 > x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:

$(4x^3 - x^3) + (4y^3 - y^3) - 3x^2y - 3xy^2 > 0$

$3x^3 - 3x^2y - 3xy^2 + 3y^3 > 0$

Разделим обе части на 3:

$x^3 - x^2y - xy^2 + y^3 > 0$

Теперь сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

$(x^3 - x^2y) - (xy^2 - y^3) > 0$

$x^2(x-y) - y^2(x-y) > 0$

$(x^2 - y^2)(x-y) > 0$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x - y)(x + y)(x - y) > 0$

$(x+y)(x-y)^2 > 0$

Проанализируем полученное неравенство. По условию $x > 0$ и $y > 0$, следовательно, их сумма $x+y$ является строго положительным числом: $x+y > 0$.

Выражение $(x-y)^2$ — это квадрат действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно, то есть $(x-y)^2 \ge 0$.

Произведение положительного числа $(x+y)$ и неотрицательного числа $(x-y)^2$ будет строго больше нуля тогда и только тогда, когда $(x-y)^2 > 0$. Это условие выполняется, если $x-y \neq 0$, то есть $x \neq y$.

Если же $x=y$, то $(x-y)^2 = 0$, и левая часть неравенства $(x+y)(x-y)^2$ обращается в ноль, что приводит к неверному утверждению $0 > 0$. В этом случае исходное неравенство обращается в верное равенство, так как все преобразования были равносильными.

Таким образом, исходное строгое неравенство справедливо для всех положительных $x$ и $y$ при условии, что $x \neq y$.

Ответ: Неравенство доказано. Оно является строгим при $x \neq y$ и обращается в равенство при $x = y$.

$ \sqrt{x^2 - 9x + 20} < \sqrt{x - 1} < \sqrt{x^2 - 13} $

Данное двойное неравенство равносильно системе из двух неравенств, при условии, что все подкоренные выражения неотрицательны.

$ \begin{cases} \sqrt{x^2 - 9x + 20} < \sqrt{x - 1} \\ \sqrt{x - 1} \le \sqrt{x^2 - 13} \end{cases} $

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ), решив систему неравенств:

$ \begin{cases} x^2 - 9x + 20 \ge 0 \\ x - 1 \ge 0 \\ x^2 - 13 \ge 0 \end{cases} $

1. Решим неравенство $x^2 - 9x + 20 \ge 0$. Корни соответствующего уравнения $x^2 - 9x + 20 = 0$ равны $x_1 = 4$ и $x_2 = 5$. Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства: $x \in (-\infty, 4] \cup [5, \infty)$.

2. Решим неравенство $x - 1 \ge 0$, откуда $x \ge 1$, то есть $x \in [1, \infty)$.

3. Решим неравенство $x^2 - 13 \ge 0$, откуда $x^2 \ge 13$, то есть $x \in (-\infty, -\sqrt{13}] \cup [\sqrt{13}, \infty)$.

Теперь найдем пересечение этих трех множеств для определения ОДЗ.Пересечение $(-\infty, 4] \cup [5, \infty)$ и $[1, \infty)$ дает $[1, 4] \cup [5, \infty)$.Далее, пересекаем $[1, 4] \cup [5, \infty)$ с $(-\infty, -\sqrt{13}] \cup [\sqrt{13}, \infty)$.Учитывая, что $3 < \sqrt{13} < 4$, получаем:ОДЗ: $x \in [\sqrt{13}, 4] \cup [5, \infty)$.

Теперь решим каждое неравенство из исходной системы.

1. Решение первого неравенства:

$ \sqrt{x^2 - 9x + 20} < \sqrt{x - 1} $

Поскольку обе части неравенства неотрицательны в ОДЗ, мы можем возвести их в квадрат:

$ x^2 - 9x + 20 < x - 1 $

$ x^2 - 10x + 21 < 0 $

Корни уравнения $x^2 - 10x + 21 = 0$ равны $x_1 = 3$ и $x_2 = 7$. Решением неравенства является интервал $(3, 7)$.

2. Решение второго неравенства:

$ \sqrt{x - 1} \le \sqrt{x^2 - 13} $

Возводим обе части в квадрат:

$ x - 1 \le x^2 - 13 $

$ 0 \le x^2 - x - 12 $

$ x^2 - x - 12 \ge 0 $

Корни уравнения $x^2 - x - 12 = 0$ равны $x_1 = -3$ и $x_2 = 4$. Решением неравенства является объединение лучей $(-\infty, -3] \cup [4, \infty)$.

3. Нахождение окончательного решения:

Найдем пересечение решений обоих неравенств и ОДЗ.Решение системы неравенств: $x \in (3, 7) \cap ((-\infty, -3] \cup [4, \infty)) = [4, 7)$.

Теперь найдем пересечение этого результата с ОДЗ: $x \in [4, 7) \cap ([\sqrt{13}, 4] \cup [5, \infty))$.

Разобьем на два случая:

а) $[4, 7) \cap [\sqrt{13}, 4]$. Так как $\sqrt{13} < 4$, пересечением является единственная точка $\{4\}$.

б) $[4, 7) \cap [5, \infty)$. Пересечением является промежуток $[5, 7)$.

Объединяя оба результата, получаем итоговое решение.

Ответ: $\{4\} \cup [5, 7)$.

*15.12. Решите систему неравенств $\begin{cases} \sqrt{4x - 7} < x, \\ \sqrt{5 + x} + \sqrt{5 - x} > 4 \end{cases}$

Данная система состоит из двух неравенств. Решим каждое из них по отдельности.

1. Решим первое неравенство: $\sqrt{4x - 7} < x$.

Это иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$ эквивалентно следующей системе:

$ \begin{cases} 4x - 7 \ge 0 & \text{(подкоренное выражение должно быть неотрицательным)} \\ x > 0 & \text{(правая часть должна быть положительной)} \\ 4x - 7 < x^2 & \text{(результат возведения в квадрат обеих частей)} \end{cases} $

Рассмотрим каждое условие системы:

а) $4x - 7 \ge 0 \implies 4x \ge 7 \implies x \ge \frac{7}{4}$.

б) $x > 0$. Это условие автоматически выполняется, если выполняется условие (а), так как $\frac{7}{4} > 0$.

в) $4x - 7 < x^2 \implies x^2 - 4x + 7 > 0$.

Для анализа этого квадратного неравенства найдем дискриминант соответствующего уравнения $x^2 - 4x + 7 = 0$:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 16 - 28 = -12$.

Поскольку дискриминант отрицателен ($D < 0$) и старший коэффициент положителен ($a = 1 > 0$), парабола $y = x^2 - 4x + 7$ целиком лежит выше оси Ox. Это означает, что неравенство $x^2 - 4x + 7 > 0$ справедливо для любого действительного числа $x$.

Объединяя все условия, получаем, что решение первого неравенства определяется только первым условием: $x \ge \frac{7}{4}$.

Таким образом, решение первого неравенства: $x \in [\frac{7}{4}; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $\sqrt{5 + x} + \sqrt{5 - x} > 4$.

Вначале определим область допустимых значений (ОДЗ):

$ \begin{cases} 5 + x \ge 0 \\ 5 - x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -5 \\ x \le 5 \end{cases} $

ОДЗ: $x \in [-5; 5]$.

На ОДЗ обе части неравенства положительны, поэтому мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:

$(\sqrt{5 + x} + \sqrt{5 - x})^2 > 4^2$

$(5 + x) + 2\sqrt{(5 + x)(5 - x)} + (5 - x) > 16$

$10 + 2\sqrt{25 - x^2} > 16$

$2\sqrt{25 - x^2} > 6$

$\sqrt{25 - x^2} > 3$

Обе части снова положительны, возведем их в квадрат:

$25 - x^2 > 9$

$16 > x^2$

$x^2 < 16$

Решением этого неравенства является интервал $-4 < x < 4$.

Найдем пересечение этого решения с ОДЗ $x \in [-5; 5]$:

$ \begin{cases} -5 \le x \le 5 \\ -4 < x < 4 \end{cases} $

Пересечением является интервал $(-4; 4)$. Это и есть решение второго неравенства.

3. Найдем решение системы.

Для нахождения решения исходной системы неравенств необходимо найти пересечение (общую часть) решений первого и второго неравенств:

Решение 1: $x \in [\frac{7}{4}; +\infty)$

Решение 2: $x \in (-4; 4)$

$ \begin{cases} x \ge \frac{7}{4} \\ -4 < x < 4 \end{cases} $

Так как $\frac{7}{4} = 1.75$, то общее решение системы: $\frac{7}{4} \le x < 4$.

В виде промежутка это записывается как $[\frac{7}{4}; 4)$.

Ответ: $[\frac{7}{4}; 4)$.

15.13. Решите уравнение:

1) $ \text{arcctg } 4x = \frac{3\pi}{4}; $

2) $ \text{arcsin } \left(4 - \frac{x}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}; $

3) $ \text{arcsin } \left(1 + \frac{x}{2}\right) = \frac{\pi}{4}; $

4) $ \text{arccos}(2 - 3x) = \pi. $

1) Дано уравнение $arcctg(4x) = \frac{3\pi}{4}$.

По определению арккотангенса, если $arcctg(a) = b$, то $ctg(b) = a$. Область значений функции арккотангенс — это интервал $(0; \pi)$.

Значение $\frac{3\pi}{4}$ принадлежит этому интервалу, следовательно, уравнение имеет решение.

Применим к обеим частям уравнения функцию котангенс:

$ctg(arcctg(4x)) = ctg(\frac{3\pi}{4})$

Это равносильно уравнению:

$4x = ctg(\frac{3\pi}{4})$

Вычислим значение котангенса:

$ctg(\frac{3\pi}{4}) = ctg(\pi - \frac{\pi}{4}) = -ctg(\frac{\pi}{4}) = -1$

Подставим значение в уравнение:

$4x = -1$

$x = -\frac{1}{4}$

Ответ: $-\frac{1}{4}$.

2) Дано уравнение $arcsin(4 - \frac{x}{2}) = -\frac{\pi}{6}$.

По определению арксинуса, если $arcsin(a) = b$, то $sin(b) = a$. Область значений функции арксинус — это отрезок $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Значение $-\frac{\pi}{6}$ принадлежит этому отрезку, следовательно, уравнение имеет решение.

Применим к обеим частям уравнения функцию синус:

$sin(arcsin(4 - \frac{x}{2})) = sin(-\frac{\pi}{6})$

Это равносильно уравнению:

$4 - \frac{x}{2} = sin(-\frac{\pi}{6})$

Вычислим значение синуса:

$sin(-\frac{\pi}{6}) = -sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$

Подставим значение в уравнение:

$4 - \frac{x}{2} = -\frac{1}{2}$

$-\frac{x}{2} = -\frac{1}{2} - 4$

$-\frac{x}{2} = -\frac{1}{2} - \frac{8}{2}$

$-\frac{x}{2} = -\frac{9}{2}$

$x = 9$

Ответ: $9$.

3) Дано уравнение $arcsin(1 + \frac{x}{2}) = \frac{\pi}{4}$.

По определению арксинуса, если $arcsin(a) = b$, то $sin(b) = a$. Область значений функции арксинус — это отрезок $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Значение $\frac{\pi}{4}$ принадлежит этому отрезку, следовательно, уравнение имеет решение.

Применим к обеим частям уравнения функцию синус:

$sin(arcsin(1 + \frac{x}{2})) = sin(\frac{\pi}{4})$

Это равносильно уравнению:

$1 + \frac{x}{2} = sin(\frac{\pi}{4})$

Вычислим значение синуса:

$sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставим значение в уравнение:

$1 + \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\frac{x}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} - 1$

$\frac{x}{2} = \frac{\sqrt{2} - 2}{2}$

$x = \sqrt{2} - 2$

Ответ: $\sqrt{2} - 2$.

4) Дано уравнение $arccos(2 - 3x) = \pi$.

По определению арккосинуса, если $arccos(a) = b$, то $cos(b) = a$. Область значений функции арккосинус — это отрезок $[0; \pi]$.

Значение $\pi$ принадлежит этому отрезку, следовательно, уравнение имеет решение.

Применим к обеим частям уравнения функцию косинус:

$cos(arccos(2 - 3x)) = cos(\pi)$

Это равносильно уравнению:

$2 - 3x = cos(\pi)$

Вычислим значение косинуса:

$cos(\pi) = -1$

Подставим значение в уравнение:

$2 - 3x = -1$

$-3x = -1 - 2$

$-3x = -3$

$x = 1$

Ответ: $1$.

15.14. Вычислите:

1) $2\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - 3\text{arcctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - 2\text{arctg}(-1);$

2) $3\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} - 4\text{arcctg}(-1) + \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 3\text{arctg}(-\sqrt{3});$

3) $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \text{arctg}(-\sqrt{3}) - \arcsin(-1) - 2\text{arctg}\sqrt{3}.$

1) Вычислим значение выражения $2\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) - 3\text{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) + \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) - 2\text{arctg}(-1)$.

Для этого найдем значения каждого из обратных тригонометрических функций:

$\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$

$\text{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \text{arcctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$

$\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$

$\text{arctg}(-1) = -\text{arctg}(1) = -\frac{\pi}{4}$

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:

$2 \cdot (-\frac{\pi}{3}) - 3 \cdot \frac{2\pi}{3} + \frac{5\pi}{6} - 2 \cdot (-\frac{\pi}{4}) = -\frac{2\pi}{3} - 2\pi + \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{2}$

Приведем все слагаемые к общему знаменателю 6:

$-\frac{4\pi}{6} - \frac{12\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} + \frac{3\pi}{6} = \frac{-4\pi - 12\pi + 5\pi + 3\pi}{6} = \frac{-16\pi + 8\pi}{6} = \frac{-8\pi}{6} = -\frac{4\pi}{3}$

Ответ: $-\frac{4\pi}{3}$

2) Вычислим значение выражения $3\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} - 4\text{arcctg}(-1) + \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 3\text{arctg}(-\sqrt{3})$.

Найдем значения каждого из обратных тригонометрических функций:

$\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$

$\text{arcctg}(-1) = \pi - \text{arcctg}(1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$

$\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$

$\text{arctg}(-\sqrt{3}) = -\text{arctg}(\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$

Подставим найденные значения в исходное выражение:

$3 \cdot \frac{\pi}{3} - 4 \cdot \frac{3\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} + 3 \cdot (-\frac{\pi}{3}) = \pi - 3\pi + \frac{3\pi}{4} - \pi$

Сгруппируем и вычислим:

$(\pi - \pi) - 3\pi + \frac{3\pi}{4} = -3\pi + \frac{3\pi}{4} = -\frac{12\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = -\frac{9\pi}{4}$

Ответ: $-\frac{9\pi}{4}$

3) Вычислим значение выражения $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \text{arctg}(-\sqrt{3}) - \arcsin(-1) - 2\text{arctg}\sqrt{3}$.

Найдем значения каждого из обратных тригонометрических функций:

$\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$

$\text{arctg}(-\sqrt{3}) = -\text{arctg}(\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$

$\arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$

$\text{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$

Подставим найденные значения в исходное выражение:

$\frac{5\pi}{6} + (-\frac{\pi}{3}) - (-\frac{\pi}{2}) - 2 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{3}$

Приведем все слагаемые к общему знаменателю 6:

$\frac{5\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} + \frac{3\pi}{6} - \frac{4\pi}{6} = \frac{5\pi - 2\pi + 3\pi - 4\pi}{6} = \frac{8\pi - 6\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$

Ответ: $\frac{\pi}{3}$