Номер 15.12, страница 127 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

*15.12. Решите систему неравенств $\begin{cases} \sqrt{4x - 7} < x, \\ \sqrt{5 + x} + \sqrt{5 - x} > 4 \end{cases}$

Данная система состоит из двух неравенств. Решим каждое из них по отдельности.

1. Решим первое неравенство: $\sqrt{4x - 7} < x$.

Это иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$ эквивалентно следующей системе:

$ \begin{cases} 4x - 7 \ge 0 & \text{(подкоренное выражение должно быть неотрицательным)} \\ x > 0 & \text{(правая часть должна быть положительной)} \\ 4x - 7 < x^2 & \text{(результат возведения в квадрат обеих частей)} \end{cases} $

Рассмотрим каждое условие системы:

а) $4x - 7 \ge 0 \implies 4x \ge 7 \implies x \ge \frac{7}{4}$.

б) $x > 0$. Это условие автоматически выполняется, если выполняется условие (а), так как $\frac{7}{4} > 0$.

в) $4x - 7 < x^2 \implies x^2 - 4x + 7 > 0$.

Для анализа этого квадратного неравенства найдем дискриминант соответствующего уравнения $x^2 - 4x + 7 = 0$:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 16 - 28 = -12$.

Поскольку дискриминант отрицателен ($D < 0$) и старший коэффициент положителен ($a = 1 > 0$), парабола $y = x^2 - 4x + 7$ целиком лежит выше оси Ox. Это означает, что неравенство $x^2 - 4x + 7 > 0$ справедливо для любого действительного числа $x$.

Объединяя все условия, получаем, что решение первого неравенства определяется только первым условием: $x \ge \frac{7}{4}$.

Таким образом, решение первого неравенства: $x \in [\frac{7}{4}; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $\sqrt{5 + x} + \sqrt{5 - x} > 4$.

Вначале определим область допустимых значений (ОДЗ):

$ \begin{cases} 5 + x \ge 0 \\ 5 - x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -5 \\ x \le 5 \end{cases} $

ОДЗ: $x \in [-5; 5]$.

На ОДЗ обе части неравенства положительны, поэтому мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:

$(\sqrt{5 + x} + \sqrt{5 - x})^2 > 4^2$

$(5 + x) + 2\sqrt{(5 + x)(5 - x)} + (5 - x) > 16$

$10 + 2\sqrt{25 - x^2} > 16$

$2\sqrt{25 - x^2} > 6$

$\sqrt{25 - x^2} > 3$

Обе части снова положительны, возведем их в квадрат:

$25 - x^2 > 9$

$16 > x^2$

$x^2 < 16$

Решением этого неравенства является интервал $-4 < x < 4$.

Найдем пересечение этого решения с ОДЗ $x \in [-5; 5]$:

$ \begin{cases} -5 \le x \le 5 \\ -4 < x < 4 \end{cases} $

Пересечением является интервал $(-4; 4)$. Это и есть решение второго неравенства.

3. Найдем решение системы.

Для нахождения решения исходной системы неравенств необходимо найти пересечение (общую часть) решений первого и второго неравенств:

Решение 1: $x \in [\frac{7}{4}; +\infty)$

Решение 2: $x \in (-4; 4)$

$ \begin{cases} x \ge \frac{7}{4} \\ -4 < x < 4 \end{cases} $

Так как $\frac{7}{4} = 1.75$, то общее решение системы: $\frac{7}{4} \le x < 4$.

В виде промежутка это записывается как $[\frac{7}{4}; 4)$.

Ответ: $[\frac{7}{4}; 4)$.