Номер 15.7, страница 127 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

Решите неравенства (15.7–15.8):

15.7.1) $\sqrt{x+3} < \sqrt{x-1} + \sqrt{x-2}$;

2) $\sqrt{x+3} + \sqrt{x-2} - \sqrt{2x+4} > 0.

1) $\sqrt{x+3} < \sqrt{x-1} + \sqrt{x-2}$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Все подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} x+3 \ge 0 \\ x-1 \ge 0 \\ x-2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -3 \\ x \ge 1 \\ x \ge 2 \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x \ge 2$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [2, +\infty)$.

В области допустимых значений обе части неравенства неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:

$(\sqrt{x+3})^2 < (\sqrt{x-1} + \sqrt{x-2})^2$

$x+3 < (x-1) + 2\sqrt{(x-1)(x-2)} + (x-2)$

$x+3 < 2x - 3 + 2\sqrt{x^2 - 3x + 2}$

Перенесем слагаемые, чтобы уединить корень:

$3 + 3 - x < 2\sqrt{x^2 - 3x + 2}$

$6 - x < 2\sqrt{x^2 - 3x + 2}$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Левая часть отрицательна. Это происходит при $6 - x < 0$, то есть $x > 6$.

В этом случае неравенство очевидно выполняется, так как отрицательное число всегда меньше неотрицательного (значение квадратного корня). Учитывая ОДЗ ($x \ge 2$), решение для этого случая: $x > 6$.

Случай 2: Левая часть неотрицательна. Это происходит при $6 - x \ge 0$, то есть $x \le 6$.

С учетом ОДЗ, рассматриваем интервал $2 \le x \le 6$. На этом интервале обе части неравенства неотрицательны, и мы можем снова возвести их в квадрат:

$(6 - x)^2 < (2\sqrt{x^2 - 3x + 2})^2$

$36 - 12x + x^2 < 4(x^2 - 3x + 2)$

$36 - 12x + x^2 < 4x^2 - 12x + 8$

$36 - 8 < 4x^2 - x^2$

$28 < 3x^2$

$x^2 > \frac{28}{3}$

Это равносильно $x > \sqrt{\frac{28}{3}}$ или $x < -\sqrt{\frac{28}{3}}$.

Так как мы рассматриваем интервал $2 \le x \le 6$, отрицательное решение $x < -\sqrt{\frac{28}{3}}$ нас не интересует. Сравним $\sqrt{\frac{28}{3}}$ с 2: $\frac{28}{3} \approx 9.33 > 4=2^2$, следовательно $\sqrt{\frac{28}{3}} > 2$.

Решение для этого случая получается пересечением условий $x > \sqrt{\frac{28}{3}}$ и $2 \le x \le 6$, что дает $\sqrt{\frac{28}{3}} < x \le 6$.

Объединим решения из обоих случаев:

$(\sqrt{\frac{28}{3}}, 6] \cup (6, +\infty)$

Это дает нам итоговый интервал $(\sqrt{\frac{28}{3}}, +\infty)$. Преобразуем $\sqrt{\frac{28}{3}} = \frac{\sqrt{28}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{21}}{3}$.

Ответ: $(\frac{2\sqrt{21}}{3}, +\infty)$.

2) $\sqrt{x+3} + \sqrt{x-2} - \sqrt{2x+4} > 0$

Перепишем неравенство в виде $\sqrt{x+3} + \sqrt{x-2} > \sqrt{2x+4}$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} x+3 \ge 0 \\ x-2 \ge 0 \\ 2x+4 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -3 \\ x \ge 2 \\ x \ge -2 \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x \ge 2$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [2, +\infty)$.

В области допустимых значений обе части неравенства $\sqrt{x+3} + \sqrt{x-2} > \sqrt{2x+4}$ неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат:

$(\sqrt{x+3} + \sqrt{x-2})^2 > (\sqrt{2x+4})^2$

$(x+3) + 2\sqrt{(x+3)(x-2)} + (x-2) > 2x+4$

$2x + 1 + 2\sqrt{x^2 + x - 6} > 2x+4$

Упростим, уединив корень:

$2\sqrt{x^2 + x - 6} > 3$

Обе части этого неравенства положительны, возведем их в квадрат еще раз:

$(2\sqrt{x^2 + x - 6})^2 > 3^2$

$4(x^2 + x - 6) > 9$

$4x^2 + 4x - 24 > 9$

$4x^2 + 4x - 33 > 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $4x^2 + 4x - 33 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(4)(-33) = 16 + 528 = 544$.

$\sqrt{D} = \sqrt{544} = \sqrt{16 \cdot 34} = 4\sqrt{34}$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{34}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{34}}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{34}}{2}$.

$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{34}}{2}$ и $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{34}}{2}$.

Так как ветви параболы $y = 4x^2 + 4x - 33$ направлены вверх, неравенство $4x^2 + 4x - 33 > 0$ выполняется при $x < x_1$ или $x > x_2$.

То есть $x < \frac{-1 - \sqrt{34}}{2}$ или $x > \frac{-1 + \sqrt{34}}{2}$.

Теперь нужно пересечь это решение с ОДЗ: $x \ge 2$.

Оценим значения корней: $\sqrt{25} < \sqrt{34} < \sqrt{36}$, т.е. $5 < \sqrt{34} < 6$.

$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{34}}{2} < \frac{-1-5}{2} = -3$. Этот корень меньше 2.

$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{34}}{2}$. Сравним его с 2: $\frac{-1 + \sqrt{34}}{2} > 2 \iff -1 + \sqrt{34} > 4 \iff \sqrt{34} > 5 \iff 34 > 25$. Это верно. Значит, $x_2 > 2$.

Итак, из двух интервалов $(-\infty, \frac{-1 - \sqrt{34}}{2})$ и $(\frac{-1 + \sqrt{34}}{2}, +\infty)$ с ОДЗ ($x \ge 2$) пересекается только второй.

Решением является $x > \frac{-1 + \sqrt{34}}{2}$.

Ответ: $(\frac{-1 + \sqrt{34}}{2}, +\infty)$.