Номер 15.8, страница 127 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

15.8.1) $ \sqrt{5x+6} - \sqrt{x+1} > \sqrt{2x-5} $;

2) $ \sqrt{x^2-8x+15} > \sqrt{4x^2-18x+18} - \sqrt{x^2+2x-15} $.

1)

Решим иррациональное неравенство $\sqrt{5x + 6} - \sqrt{x + 1} > \sqrt{2x - 5}$.

В первую очередь, определим область допустимых значений (ОДЗ), для которой все подкоренные выражения неотрицательны:

$\begin{cases} 5x + 6 \ge 0 \\ x + 1 \ge 0 \\ 2x - 5 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -6/5 \\ x \ge -1 \\ x \ge 5/2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1.2 \\ x \ge -1 \\ x \ge 2.5 \end{cases}$

Общей областью для всех трех условий является $x \ge 2.5$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [2.5, +\infty)$.

Перепишем исходное неравенство, перенеся член $\sqrt{x+1}$ в правую часть, чтобы с обеих сторон были положительные величины:

$\sqrt{5x + 6} > \sqrt{2x - 5} + \sqrt{x + 1}$

Поскольку в найденной ОДЗ обе части неравенства являются неотрицательными, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:

$(\sqrt{5x + 6})^2 > (\sqrt{2x - 5} + \sqrt{x + 1})^2$

$5x + 6 > (2x - 5) + 2\sqrt{(2x - 5)(x + 1)} + (x + 1)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$5x + 6 > 3x - 4 + 2\sqrt{2x^2 + 2x - 5x - 5}$

$5x + 6 > 3x - 4 + 2\sqrt{2x^2 - 3x - 5}$

Изолируем оставшийся радикал:

$5x - 3x + 6 + 4 > 2\sqrt{2x^2 - 3x - 5}$

$2x + 10 > 2\sqrt{2x^2 - 3x - 5}$

Разделим обе части на 2:

$x + 5 > \sqrt{2x^2 - 3x - 5}$

В нашей ОДЗ ($x \ge 2.5$) левая часть $x+5$ всегда положительна. Подкоренное выражение $2x^2 - 3x - 5 = (x-2.5)(2x+2)$ также неотрицательно. Следовательно, мы можем снова возвести обе части в квадрат:

$(x + 5)^2 > 2x^2 - 3x - 5$

$x^2 + 10x + 25 > 2x^2 - 3x - 5$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное неравенство:

$0 > x^2 - 13x - 30$ или $x^2 - 13x - 30 < 0$

Для решения найдем корни уравнения $x^2 - 13x - 30 = 0$. Используя дискриминант $D = (-13)^2 - 4(1)(-30) = 169 + 120 = 289 = 17^2$, получаем корни:

$x_{1,2} = \frac{13 \pm 17}{2}$, то есть $x_1 = 15$ и $x_2 = -2$.

Так как ветви параболы $y = x^2 - 13x - 30$ направлены вверх, неравенство $x^2 - 13x - 30 < 0$ выполняется на интервале между корнями: $x \in (-2, 15)$.

Наконец, найдем пересечение этого решения с ОДЗ $x \in [2.5, +\infty)$:

$(-2, 15) \cap [2.5, +\infty) = [2.5, 15)$

Ответ: $[2.5, 15)$.

2)

Решим неравенство $\sqrt{x^2 - 8x + 15} > \sqrt{4x^2 - 18x + 18} - \sqrt{x^2 + 2x - 15}$.

Найдем ОДЗ. Для этого разложим подкоренные выражения на множители:

$x^2 - 8x + 15 = (x-3)(x-5)$

$4x^2 - 18x + 18 = 2(2x^2 - 9x + 9) = 2(x-3)(2x-3)$

$x^2 + 2x - 15 = (x-3)(x+5)$

Условия ОДЗ:

$\begin{cases} (x-3)(x-5) \ge 0 \implies x \in (-\infty, 3] \cup [5, +\infty) \\ 2(x-3)(2x-3) \ge 0 \implies x \in (-\infty, 1.5] \cup [3, +\infty) \\ (x-3)(x+5) \ge 0 \implies x \in (-\infty, -5] \cup [3, +\infty) \end{cases}$

Пересечение этих трех множеств дает нам ОДЗ: $x \in (-\infty, -5] \cup \{3\} \cup [5, +\infty)$.

Перенесем член с отрицательным знаком в левую часть неравенства:

$\sqrt{x^2 - 8x + 15} + \sqrt{x^2 + 2x - 15} > \sqrt{4x^2 - 18x + 18}$

Проверим точку $x=3$, входящую в ОДЗ. Подставляя в исходное неравенство, получаем:

$\sqrt{0} > \sqrt{0} - \sqrt{0} \implies 0 > 0$, что является ложным утверждением. Следовательно, $x=3$ не является решением.

Теперь рассмотрим решение на интервалах $x \in (-\infty, -5] \cup [5, +\infty)$, где $x \ne 3$.

Подставим разложения на множители: $\sqrt{(x-3)(x-5)} + \sqrt{(x-3)(x+5)} > \sqrt{2(x-3)(2x-3)}$.

Это можно записать как $\sqrt{|x-3|}\sqrt{|x-5|} + \sqrt{|x-3|}\sqrt{|x+5|} > \sqrt{|x-3|}\sqrt{|2(2x-3)|}$.

Так как $x \ne 3$, то $\sqrt{|x-3|} > 0$, и мы можем разделить на него обе части неравенства:

$\sqrt{|x-5|} + \sqrt{|x+5|} > \sqrt{|4x-6|}$

Рассмотрим два случая:

а) $x \in [5, +\infty)$. В этом интервале все выражения под модулями неотрицательны, поэтому модули можно убрать:

$\sqrt{x-5} + \sqrt{x+5} > \sqrt{4x-6}$

Возводим в квадрат обе неотрицательные части: $(x-5) + 2\sqrt{(x-5)(x+5)} + (x+5) > 4x-6$

$2x + 2\sqrt{x^2-25} > 4x-6 \implies \sqrt{x^2-25} > x-3$

При $x \ge 5$ правая часть $x-3$ положительна. Снова возводим в квадрат:

$x^2-25 > (x-3)^2 \implies x^2-25 > x^2-6x+9 \implies 6x > 34 \implies x > 17/3$.

Так как $17/3 = 5\frac{2}{3}$, то пересечение решения $x > 17/3$ с интервалом $x \in [5, +\infty)$ дает $x \in (17/3, +\infty)$.

б) $x \in (-\infty, -5]$. В этом интервале выражения $x-5$, $x+5$ и $4x-6$ отрицательны. Раскрываем модули с противоположным знаком:

$\sqrt{-(x-5)} + \sqrt{-(x+5)} > \sqrt{-(4x-6)}$

$\sqrt{5-x} + \sqrt{-x-5} > \sqrt{6-4x}$

Возводим в квадрат обе неотрицательные части: $(5-x) + 2\sqrt{(5-x)(-x-5)} + (-x-5) > 6-4x$

$-2x + 2\sqrt{x^2-25} > 6-4x \implies \sqrt{x^2-25} > 3-x$

При $x \le -5$ правая часть $3-x$ положительна. Возводим в квадрат:

$x^2-25 > (3-x)^2 \implies x^2-25 > 9-6x+x^2 \implies 6x > 34 \implies x > 17/3$.

Решение $x > 17/3$ не имеет пересечения с рассматриваемым интервалом $x \in (-\infty, -5]$. В этом случае решений нет.

Объединяя результаты из всех случаев, получаем окончательное решение.

Ответ: $(17/3, +\infty)$.