Номер 15.14, страница 127 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

15.14. Вычислите:

1) $2\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - 3\text{arcctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - 2\text{arctg}(-1);$

2) $3\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} - 4\text{arcctg}(-1) + \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 3\text{arctg}(-\sqrt{3});$

3) $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \text{arctg}(-\sqrt{3}) - \arcsin(-1) - 2\text{arctg}\sqrt{3}.$

1) Вычислим значение выражения $2\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) - 3\text{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) + \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) - 2\text{arctg}(-1)$.

Для этого найдем значения каждого из обратных тригонометрических функций:

$\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$

$\text{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \text{arcctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$

$\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$

$\text{arctg}(-1) = -\text{arctg}(1) = -\frac{\pi}{4}$

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:

$2 \cdot (-\frac{\pi}{3}) - 3 \cdot \frac{2\pi}{3} + \frac{5\pi}{6} - 2 \cdot (-\frac{\pi}{4}) = -\frac{2\pi}{3} - 2\pi + \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{2}$

Приведем все слагаемые к общему знаменателю 6:

$-\frac{4\pi}{6} - \frac{12\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} + \frac{3\pi}{6} = \frac{-4\pi - 12\pi + 5\pi + 3\pi}{6} = \frac{-16\pi + 8\pi}{6} = \frac{-8\pi}{6} = -\frac{4\pi}{3}$

Ответ: $-\frac{4\pi}{3}$

2) Вычислим значение выражения $3\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} - 4\text{arcctg}(-1) + \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 3\text{arctg}(-\sqrt{3})$.

Найдем значения каждого из обратных тригонометрических функций:

$\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$

$\text{arcctg}(-1) = \pi - \text{arcctg}(1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$

$\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$

$\text{arctg}(-\sqrt{3}) = -\text{arctg}(\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$

Подставим найденные значения в исходное выражение:

$3 \cdot \frac{\pi}{3} - 4 \cdot \frac{3\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} + 3 \cdot (-\frac{\pi}{3}) = \pi - 3\pi + \frac{3\pi}{4} - \pi$

Сгруппируем и вычислим:

$(\pi - \pi) - 3\pi + \frac{3\pi}{4} = -3\pi + \frac{3\pi}{4} = -\frac{12\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = -\frac{9\pi}{4}$

Ответ: $-\frac{9\pi}{4}$

3) Вычислим значение выражения $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \text{arctg}(-\sqrt{3}) - \arcsin(-1) - 2\text{arctg}\sqrt{3}$.

Найдем значения каждого из обратных тригонометрических функций:

$\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$

$\text{arctg}(-\sqrt{3}) = -\text{arctg}(\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$

$\arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$

$\text{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$

Подставим найденные значения в исходное выражение:

$\frac{5\pi}{6} + (-\frac{\pi}{3}) - (-\frac{\pi}{2}) - 2 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{3}$

Приведем все слагаемые к общему знаменателю 6:

$\frac{5\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} + \frac{3\pi}{6} - \frac{4\pi}{6} = \frac{5\pi - 2\pi + 3\pi - 4\pi}{6} = \frac{8\pi - 6\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$

Ответ: $\frac{\pi}{3}$