Номер 15.13, страница 127 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

15.13. Решите уравнение:

1) $ \text{arcctg } 4x = \frac{3\pi}{4}; $

2) $ \text{arcsin } \left(4 - \frac{x}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}; $

3) $ \text{arcsin } \left(1 + \frac{x}{2}\right) = \frac{\pi}{4}; $

4) $ \text{arccos}(2 - 3x) = \pi. $

1) Дано уравнение $arcctg(4x) = \frac{3\pi}{4}$.

По определению арккотангенса, если $arcctg(a) = b$, то $ctg(b) = a$. Область значений функции арккотангенс — это интервал $(0; \pi)$.

Значение $\frac{3\pi}{4}$ принадлежит этому интервалу, следовательно, уравнение имеет решение.

Применим к обеим частям уравнения функцию котангенс:

$ctg(arcctg(4x)) = ctg(\frac{3\pi}{4})$

Это равносильно уравнению:

$4x = ctg(\frac{3\pi}{4})$

Вычислим значение котангенса:

$ctg(\frac{3\pi}{4}) = ctg(\pi - \frac{\pi}{4}) = -ctg(\frac{\pi}{4}) = -1$

Подставим значение в уравнение:

$4x = -1$

$x = -\frac{1}{4}$

Ответ: $-\frac{1}{4}$.

2) Дано уравнение $arcsin(4 - \frac{x}{2}) = -\frac{\pi}{6}$.

По определению арксинуса, если $arcsin(a) = b$, то $sin(b) = a$. Область значений функции арксинус — это отрезок $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Значение $-\frac{\pi}{6}$ принадлежит этому отрезку, следовательно, уравнение имеет решение.

Применим к обеим частям уравнения функцию синус:

$sin(arcsin(4 - \frac{x}{2})) = sin(-\frac{\pi}{6})$

Это равносильно уравнению:

$4 - \frac{x}{2} = sin(-\frac{\pi}{6})$

Вычислим значение синуса:

$sin(-\frac{\pi}{6}) = -sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$

Подставим значение в уравнение:

$4 - \frac{x}{2} = -\frac{1}{2}$

$-\frac{x}{2} = -\frac{1}{2} - 4$

$-\frac{x}{2} = -\frac{1}{2} - \frac{8}{2}$

$-\frac{x}{2} = -\frac{9}{2}$

$x = 9$

Ответ: $9$.

3) Дано уравнение $arcsin(1 + \frac{x}{2}) = \frac{\pi}{4}$.

По определению арксинуса, если $arcsin(a) = b$, то $sin(b) = a$. Область значений функции арксинус — это отрезок $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Значение $\frac{\pi}{4}$ принадлежит этому отрезку, следовательно, уравнение имеет решение.

Применим к обеим частям уравнения функцию синус:

$sin(arcsin(1 + \frac{x}{2})) = sin(\frac{\pi}{4})$

Это равносильно уравнению:

$1 + \frac{x}{2} = sin(\frac{\pi}{4})$

Вычислим значение синуса:

$sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставим значение в уравнение:

$1 + \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\frac{x}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} - 1$

$\frac{x}{2} = \frac{\sqrt{2} - 2}{2}$

$x = \sqrt{2} - 2$

Ответ: $\sqrt{2} - 2$.

4) Дано уравнение $arccos(2 - 3x) = \pi$.

По определению арккосинуса, если $arccos(a) = b$, то $cos(b) = a$. Область значений функции арккосинус — это отрезок $[0; \pi]$.

Значение $\pi$ принадлежит этому отрезку, следовательно, уравнение имеет решение.

Применим к обеим частям уравнения функцию косинус:

$cos(arccos(2 - 3x)) = cos(\pi)$

Это равносильно уравнению:

$2 - 3x = cos(\pi)$

Вычислим значение косинуса:

$cos(\pi) = -1$

Подставим значение в уравнение:

$2 - 3x = -1$

$-3x = -1 - 2$

$-3x = -3$

$x = 1$

Ответ: $1$.