Номер 1, страница 128 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1. Найдите область определения функции $y = \sqrt{x^3 - 5x^2 + 6x}$:

A) $(-\infty; 0] \cup [2; 3];$

B) $[0; 2) \cup (3; +\infty);$

C) $[0; 2] \cup [3; +\infty);$

D) $(-\infty; 0) \cup [2; 3].$

1. Область определения функции $y = \sqrt{x^3 - 5x^2 + 6x}$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть большим или равным нулю.

Для нахождения области определения необходимо решить неравенство:

$x^3 - 5x^2 + 6x \ge 0$

Сначала вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 5x + 6) \ge 0$

Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 - 5x + 6$. Для этого найдем его корни. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Отсюда корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Таким образом, квадратный трехчлен можно представить в виде $(x - 2)(x - 3)$.

Теперь исходное неравенство принимает вид:

$x(x - 2)(x - 3) \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Нулями выражения в левой части являются точки $x = 0$, $x = 2$ и $x = 3$. Нанесем эти точки на числовую ось, они разделят ее на четыре интервала.

Определим знак выражения $x(x - 2)(x - 3)$ в каждом из интервалов:

1. Интервал $(3; +\infty)$: возьмем $x=4$. $4(4 - 2)(4 - 3) = 4 \cdot 2 \cdot 1 = 8 > 0$. Знак "+".

2. Интервал $(2; 3)$: возьмем $x=2.5$. $2.5(2.5 - 2)(2.5 - 3) = 2.5 \cdot 0.5 \cdot (-0.5) < 0$. Знак "-".

3. Интервал $(0; 2)$: возьмем $x=1$. $1(1 - 2)(1 - 3) = 1 \cdot (-1) \cdot (-2) = 2 > 0$. Знак "+".

4. Интервал $(-\infty; 0)$: возьмем $x=-1$. $-1(-1 - 2)(-1 - 3) = -1 \cdot (-3) \cdot (-4) < 0$. Знак "-".

Поскольку неравенство нестрогое ($\ge 0$), мы ищем промежутки, где выражение положительно или равно нулю. Это интервалы со знаком "+" и сами точки $0, 2, 3$.

Объединяя эти промежутки, получаем область определения функции:

$x \in [0; 2] \cup [3; +\infty)$

Это решение соответствует варианту C).

Ответ: C) $[0; 2] \cup [3; +\infty)$.