Номер 5, страница 128 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

5. Решите уравнение $\sqrt{\frac{x}{x-2}} + 6\sqrt{\frac{x-2}{2}} = 5$:

A) 2; 3;

B) 1; 6;

C) $\frac{9}{4}$; $\frac{8}{3}$;

D) $\frac{4}{9}$; $\frac{3}{8}$;

Данное уравнение: $\sqrt{\frac{x}{x-2}} + 6\sqrt{\frac{x-2}{2}} = 5$.

Заметим, что структура задачи и предложенные варианты ответов позволяют предположить, что в условии допущена опечатка, и уравнение должно иметь вид: $\sqrt{\frac{x}{x-2}} + 6\sqrt{\frac{x-2}{x}} = 5$. В таком виде слагаемые под корнем являются взаимно обратными величинами, что является стандартным приемом для решения подобных уравнений. Решим скорректированное уравнение.

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ)

Подкоренные выражения должны быть неотрицательными, а знаменатели дробей не должны быть равны нулю.$\frac{x}{x-2} \ge 0$ и $\frac{x-2}{x} \ge 0$.Эти два неравенства эквивалентны. Решим первое из них методом интервалов.На числовой оси отмечаем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль: $x=0$ и $x=2$.Определяем знаки выражения $\frac{x}{x-2}$ на интервалах $(-\infty, 0)$, $(0, 2)$ и $(2, \infty)$.

• При $x > 2$, $x>0$ и $x-2>0$, дробь положительна.
• При $0 < x < 2$, $x>0$ и $x-2<0$, дробь отрицательна.
• При $x < 0$, $x<0$ и $x-2<0$, дробь положительна.

2. Введение новой переменной

Сделаем замену, чтобы упростить уравнение.Пусть $y = \sqrt{\frac{x}{x-2}}$. Поскольку значение арифметического корня не может быть отрицательным и $x \neq 0$, то $y > 0$.Тогда второе слагаемое можно выразить через $y$:$\sqrt{\frac{x-2}{x}} = \sqrt{\frac{1}{\frac{x}{x-2}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{x}{x-2}}} = \frac{1}{y}$.Подставим $y$ в уравнение:$y + 6 \cdot \frac{1}{y} = 5$

3. Решение уравнения относительно новой переменной

Умножим все члены уравнения на $y$ (так как $y \neq 0$):$y^2 + 6 = 5y$Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:$y^2 - 5y + 6 = 0$Найдем корни этого уравнения, например, по теореме Виета:Сумма корней: $y_1 + y_2 = 5$Произведение корней: $y_1 \cdot y_2 = 6$Корнями являются $y_1 = 2$ и $y_2 = 3$. Оба корня положительны, поэтому они являются допустимыми значениями для $y$.

4. Обратная замена и нахождение x

Теперь вернемся к исходной переменной $x$ для каждого найденного значения $y$.

Случай 1: $y = 2$$\sqrt{\frac{x}{x-2}} = 2$Возведем обе части уравнения в квадрат:$\frac{x}{x-2} = 4$$x = 4(x-2)$$x = 4x - 8$$3x = 8$$x_1 = \frac{8}{3}$

Случай 2: $y = 3$$\sqrt{\frac{x}{x-2}} = 3$Возведем обе части уравнения в квадрат:$\frac{x}{x-2} = 9$$x = 9(x-2)$$x = 9x - 18$$8x = 18$$x_2 = \frac{18}{8} = \frac{9}{4}$

5. Проверка корней

Проверим, входят ли найденные корни в ОДЗ ($x \in (-\infty, 0) \cup (2, \infty)$).$x_1 = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$. Это значение больше 2, следовательно, оно входит в ОДЗ.$x_2 = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$. Это значение также больше 2, следовательно, оно входит в ОДЗ.Оба корня являются решениями уравнения.

Ответ: $\frac{9}{4}; \frac{8}{3}$.