Номер 12, страница 129 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

12. Известно, что кинотеатр работает с 10 ч до 22 ч и киносеансы начинаются через каждые 2 часа. График посещаемости кинотеатра задается уравнением $N(t) = 24t - t^2$, $t$ — время в часах начала киносеанса, $N(t)$ — количество посетителей кинотеатра. Найдите наибольшее число зрителей в пик посещаемости и число посетителей за день:

A) 144 и 740;

B) 146 и 780;

C) 140 и 720;

D) 144 и 720;

E) 140 и 740.

Наибольшее число зрителей в пик посещаемости

Посещаемость кинотеатра задается уравнением $N(t) = 24t - t^2$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз (поскольку коэффициент при $t^2$ отрицательный). Максимальное значение функции достигается в её вершине.

Найдем время $t$, соответствующее вершине, по формуле $t_v = -b / (2a)$, где для нашей функции $a=-1$ и $b=24$.

$t_v = -24 / (2 \cdot (-1)) = 12$.

Пик посещаемости приходится на сеанс, начинающийся в 12:00. Вычислим количество зрителей для этого сеанса, подставив $t=12$ в уравнение:

$N(12) = 24 \cdot 12 - 12^2 = 288 - 144 = 144$.

Ответ: 144.

Число посетителей за день

Кинотеатр работает с 10:00 до 22:00, а сеансы начинаются каждые 2 часа. Определим время начала всех сеансов за день: 10:00, 12:00, 14:00, 16:00, 18:00 и 20:00. Сеанс в 22:00 не учитывается, так как он бы закончился после закрытия кинотеатра.

Рассчитаем количество посетителей для каждого сеанса:

$N(10) = 24 \cdot 10 - 10^2 = 240 - 100 = 140$

$N(12) = 24 \cdot 12 - 12^2 = 288 - 144 = 144$

$N(14) = 24 \cdot 14 - 14^2 = 336 - 196 = 140$

$N(16) = 24 \cdot 16 - 16^2 = 384 - 256 = 128$

$N(18) = 24 \cdot 18 - 18^2 = 432 - 324 = 108$

$N(20) = 24 \cdot 20 - 20^2 = 480 - 400 = 80$

Чтобы найти общее число посетителей за день, просуммируем количество зрителей со всех сеансов:

$N_{общ} = 140 + 144 + 140 + 128 + 108 + 80 = 740$.

Ответ: 740.