Вопросы, страница 133 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1. Какое отличие имеет комплексное число от действительного числа?

2. Что означает модуль комплексного числа?

3. Что такое комплексная плоскость?

4. Как на комплексной плоскости расположены два сопряженных комплексных числа $z$ и $\bar{z}$?

5. Верно ли равенство $z \cdot \bar{z} = |z|^2$?

1. Какое отличие имеет комплексное число от действительного числа?

Основное отличие комплексного числа от действительного заключается в его структуре. Комплексное число $z$ имеет вид $z = a + bi$, где $a$ и $b$ – это действительные числа, а $i$ – так называемая мнимая единица, которая определяется как $i^2 = -1$. Число $a$ называется действительной (или вещественной) частью комплексного числа, а число $b$ – мнимой частью. Действительные числа являются частным случаем комплексных чисел, у которых мнимая часть равна нулю ($b = 0$). Таким образом, любое действительное число $a$ можно записать в виде комплексного числа $a + 0i$. В то время как действительные числа можно расположить на одной числовой прямой, комплексные числа требуют для своего представления двумерную плоскость, так как они состоят из двух компонент: действительной и мнимой.

Ответ: Главное отличие комплексного числа — наличие мнимой части. Это расширяет понятие числа с одномерной прямой (действительные числа) до двумерной плоскости.

2. Что означает модуль комплексного числа?

Модуль комплексного числа $z = a + bi$, обозначаемый как $|z|$, представляет собой неотрицательное действительное число, которое вычисляется по формуле $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$. Геометрически модуль комплексного числа — это расстояние от начала координат (точки (0,0)) до точки $(a,b)$, соответствующей этому числу на комплексной плоскости. Иными словами, это длина вектора, который соединяет начало координат с точкой, изображающей комплексное число. Для действительного числа $a$ (которое можно представить как $a + 0i$) его модуль $|a| = \sqrt{a^2 + 0^2} = \sqrt{a^2}$ совпадает с его абсолютной величиной.

Ответ: Модуль комплексного числа — это расстояние от начала координат до точки, представляющей это число на комплексной плоскости.

3. Что такое комплексная плоскость?

Комплексная плоскость (также известная как плоскость Аргана или Гаусса) — это способ геометрического представления комплексных чисел. Она представляет собой двумерную декартову систему координат. Горизонтальная ось называется действительной осью (обозначается Re), и на ней откладывается действительная часть $a$ комплексного числа $z = a + bi$. Вертикальная ось называется мнимой осью (обозначается Im), и на ней откладывается мнимая часть $b$. Каждому комплексному числу $z = a + bi$ на этой плоскости соответствует единственная точка с координатами $(a,b)$ или вектор, идущий из начала координат в эту точку.

Ответ: Это двумерная координатная плоскость, на которой комплексные числа изображаются в виде точек, где абсцисса — действительная часть, а ордината — мнимая часть числа.

4. Как на комплексной плоскости расположены два сопряженных комплексных числа $z$ и $\bar{z}$?

Если дано комплексное число $z = a + bi$, то сопряженное ему число определяется как $\bar{z} = a - bi$. На комплексной плоскости число $z$ соответствует точке с координатами $(a,b)$, а сопряженное число $\bar{z}$ — точке с координатами $(a,-b)$. Эти две точки имеют одинаковую действительную часть (абсциссу) и противоположные по знаку мнимые части (ординаты). Таким образом, точки, соответствующие сопряженным комплексным числам $z$ и $\bar{z}$, расположены симметрично друг другу относительно действительной оси (оси Re).

Ответ: Два сопряженных комплексных числа расположены на комплексной плоскости симметрично относительно действительной оси.

5. Верно ли равенство $z \cdot \bar{z} = |z|^2$?

Да, это равенство верно. Давайте докажем это. Пусть комплексное число $z$ имеет вид $z = a + bi$. Тогда сопряженное ему число равно $\bar{z} = a - bi$.

Вычислим произведение $z \cdot \bar{z}$:

$z \cdot \bar{z} = (a + bi)(a - bi)$

Используя формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$, получаем:

$z \cdot \bar{z} = a^2 - (bi)^2 = a^2 - b^2i^2$

Поскольку $i^2 = -1$, выражение упрощается:

$z \cdot \bar{z} = a^2 - b^2(-1) = a^2 + b^2$

Теперь вычислим квадрат модуля числа $z$. Модуль $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.

$|z|^2 = (\sqrt{a^2 + b^2})^2 = a^2 + b^2$

Сравнивая результаты, мы видим, что левая и правая части равенства совпадают: $a^2 + b^2 = a^2 + b^2$.

Ответ: Да, равенство $z \cdot \bar{z} = |z|^2$ верно для любого комплексного числа $z$.