Номер 10, страница 129 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

10. Решите систему неравенств

$\begin{cases} \sqrt{x - 1} < 2, \\ 10 - x < 8 \end{cases}$

A) $(1; 5)$; B) $(1; 2]$; C) $[2; 5)$; D) $[2; 5]$.

Для решения данной системы неравенств необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

Решим первое неравенство системы: $\sqrt{x-1} < 2$

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого неравенства определяется условием, что выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x - 1 \ge 0$, откуда следует $x \ge 1$.

Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства: $(\sqrt{x-1})^2 < 2^2$.

В результате получаем $x - 1 < 4$, что дает $x < 5$.

С учетом ОДЗ ($x \ge 1$) и полученного результата ($x < 5$), решение первого неравенства есть промежуток $[1; 5)$.

Решим второе неравенство системы: $10 - x < 8$

Это линейное неравенство. Перенесем число 10 в правую часть: $-x < 8 - 10$.

Упростив, получаем: $-x < -2$.

Чтобы найти $x$, умножим обе части на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $x > 2$.

Решение второго неравенства есть промежуток $(2; +\infty)$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств.

Решением системы является пересечение промежутков $[1; 5)$ и $(2; +\infty)$. Это множество всех чисел $x$, которые одновременно удовлетворяют условиям $x \ge 1$, $x < 5$ и $x > 2$. Объединив эти условия, получаем двойное неравенство $2 < x < 5$.

Таким образом, точное решение системы, записанной в условии, — это интервал $(2; 5)$.

Данный ответ отсутствует среди предложенных вариантов. Вариант C) $[2; 5)$ был бы верным, если бы второе неравенство было нестрогим: $10 - x \le 8$. В таком случае его решением было бы $x \ge 2$, а пересечение промежутков $[1; 5)$ и $[2; +\infty)$ дало бы $[2; 5)$.

Вероятнее всего, в условии задачи допущена опечатка. Исходя из предложенных вариантов, правильным следует считать ответ, который получается при нестрогом втором неравенстве.

Ответ: C) [2; 5)