Номер 4, страница 128 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

4. Найдите наибольший корень уравнения $ \sqrt{x^2-5} = \sqrt{4x} $:

A) -5;

B) 5;

C) -1;

D) 1.

Для решения данного иррационального уравнения необходимо сначала найти область допустимых значений (ОДЗ), так как выражения под знаком квадратного корня должны быть неотрицательными.

1. Определение ОДЗ:

Система неравенств, определяющая ОДЗ, выглядит следующим образом:

$\begin{cases}x^2 - 5 \ge 0 \\4x \ge 0\end{cases}$

Решим каждое неравенство:

Из второго неравенства $4x \ge 0$ следует, что $x \ge 0$.

Первое неравенство $x^2 - 5 \ge 0$ эквивалентно $x^2 \ge 5$, что дает нам $x \in (-\infty; -\sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}; \infty)$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $x \ge 0$ и $x \in (-\infty; -\sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}; \infty)$. Общим решением является промежуток $x \ge \sqrt{5}$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in [\sqrt{5}; +\infty)$.

2. Решение уравнения:

Исходное уравнение: $\sqrt{x^2 - 5} = \sqrt{4x}$.

Поскольку обе части уравнения неотрицательны в ОДЗ, мы можем возвести их в квадрат, чтобы избавиться от корней:

$(\sqrt{x^2 - 5})^2 = (\sqrt{4x})^2$

$x^2 - 5 = 4x$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 4x - 5 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета. Сумма корней равна 4, а их произведение равно -5. Легко подобрать корни:

$x_1 = 5$

$x_2 = -1$

3. Проверка корней:

Теперь необходимо проверить, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x \ge \sqrt{5}$).

Для $x_1 = 5$: $5 \ge \sqrt{5}$, так как $25 \ge 5$. Это верное неравенство, значит, $x=5$ является корнем уравнения.

Для $x_2 = -1$: $-1 \ge \sqrt{5}$. Это неверное неравенство, так как отрицательное число не может быть больше положительного. Следовательно, $x=-1$ — посторонний корень.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень $x=5$. Так как корень один, он же является и наибольшим.

Ответ: 5