Номер 15.11, страница 127 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

$ \sqrt{x^2 - 9x + 20} < \sqrt{x - 1} < \sqrt{x^2 - 13} $

Данное двойное неравенство равносильно системе из двух неравенств, при условии, что все подкоренные выражения неотрицательны.

$ \begin{cases} \sqrt{x^2 - 9x + 20} < \sqrt{x - 1} \\ \sqrt{x - 1} \le \sqrt{x^2 - 13} \end{cases} $

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ), решив систему неравенств:

$ \begin{cases} x^2 - 9x + 20 \ge 0 \\ x - 1 \ge 0 \\ x^2 - 13 \ge 0 \end{cases} $

1. Решим неравенство $x^2 - 9x + 20 \ge 0$. Корни соответствующего уравнения $x^2 - 9x + 20 = 0$ равны $x_1 = 4$ и $x_2 = 5$. Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства: $x \in (-\infty, 4] \cup [5, \infty)$.

2. Решим неравенство $x - 1 \ge 0$, откуда $x \ge 1$, то есть $x \in [1, \infty)$.

3. Решим неравенство $x^2 - 13 \ge 0$, откуда $x^2 \ge 13$, то есть $x \in (-\infty, -\sqrt{13}] \cup [\sqrt{13}, \infty)$.

Теперь найдем пересечение этих трех множеств для определения ОДЗ.Пересечение $(-\infty, 4] \cup [5, \infty)$ и $[1, \infty)$ дает $[1, 4] \cup [5, \infty)$.Далее, пересекаем $[1, 4] \cup [5, \infty)$ с $(-\infty, -\sqrt{13}] \cup [\sqrt{13}, \infty)$.Учитывая, что $3 < \sqrt{13} < 4$, получаем:ОДЗ: $x \in [\sqrt{13}, 4] \cup [5, \infty)$.

Теперь решим каждое неравенство из исходной системы.

1. Решение первого неравенства:

$ \sqrt{x^2 - 9x + 20} < \sqrt{x - 1} $

Поскольку обе части неравенства неотрицательны в ОДЗ, мы можем возвести их в квадрат:

$ x^2 - 9x + 20 < x - 1 $

$ x^2 - 10x + 21 < 0 $

Корни уравнения $x^2 - 10x + 21 = 0$ равны $x_1 = 3$ и $x_2 = 7$. Решением неравенства является интервал $(3, 7)$.

2. Решение второго неравенства:

$ \sqrt{x - 1} \le \sqrt{x^2 - 13} $

Возводим обе части в квадрат:

$ x - 1 \le x^2 - 13 $

$ 0 \le x^2 - x - 12 $

$ x^2 - x - 12 \ge 0 $

Корни уравнения $x^2 - x - 12 = 0$ равны $x_1 = -3$ и $x_2 = 4$. Решением неравенства является объединение лучей $(-\infty, -3] \cup [4, \infty)$.

3. Нахождение окончательного решения:

Найдем пересечение решений обоих неравенств и ОДЗ.Решение системы неравенств: $x \in (3, 7) \cap ((-\infty, -3] \cup [4, \infty)) = [4, 7)$.

Теперь найдем пересечение этого результата с ОДЗ: $x \in [4, 7) \cap ([\sqrt{13}, 4] \cup [5, \infty))$.

Разобьем на два случая:

а) $[4, 7) \cap [\sqrt{13}, 4]$. Так как $\sqrt{13} < 4$, пересечением является единственная точка $\{4\}$.

б) $[4, 7) \cap [5, \infty)$. Пересечением является промежуток $[5, 7)$.

Объединяя оба результата, получаем итоговое решение.

Ответ: $\{4\} \cup [5, 7)$.