Номер 15.5, страница 126 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

15.5. 1) $\sqrt{2x-1} > x-2;$

2) $\sqrt{2x+1} < x-1;$

3) $x+2 < \sqrt{x+14};$

4) $x-3 < \sqrt{x+27}.$

1) $\sqrt{2x - 1} > x - 2$

Данное иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$ равносильно совокупности двух систем неравенств:

Первая система рассматривает случай, когда правая часть отрицательна (тогда неравенство верно при всех допустимых значениях $x$, так как корень всегда неотрицателен):

$\begin{cases} x - 2 < 0 \\ 2x - 1 \ge 0 \end{cases}$

Вторая система рассматривает случай, когда правая часть неотрицательна (тогда обе части можно возвести в квадрат):

$\begin{cases} x - 2 \ge 0 \\ 2x - 1 > (x - 2)^2 \end{cases}$

Решим первую систему:

$\begin{cases} x < 2 \\ 2x \ge 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 2 \\ x \ge 0.5 \end{cases}$

Решением первой системы является промежуток $x \in [0.5, 2)$.

Решим вторую систему:

$\begin{cases} x \ge 2 \\ 2x - 1 > x^2 - 4x + 4 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 2 \\ 0 > x^2 - 6x + 5 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 2 \\ x^2 - 6x + 5 < 0 \end{cases}$

Чтобы решить квадратное неравенство $x^2 - 6x + 5 < 0$, найдем корни уравнения $x^2 - 6x + 5 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется между корнями: $x \in (1, 5)$.

Теперь найдем пересечение решений системы: $\begin{cases} x \ge 2 \\ x \in (1, 5) \end{cases}$.

Решением второй системы является промежуток $x \in [2, 5)$.

Общее решение исходного неравенства является объединением решений двух систем:

$[0.5, 2) \cup [2, 5) = [0.5, 5)$.

Ответ: $x \in [0.5, 5)$.

2) $\sqrt{2x + 1} < x - 1$

Данное иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$ равносильно системе неравенств. Чтобы неравенство имело решение, правая часть должна быть положительной, а подкоренное выражение — неотрицательным. После этого можно возвести обе части в квадрат.

$\begin{cases} 2x + 1 \ge 0 \text{ (область определения корня)} \\ x - 1 > 0 \text{ (правая часть должна быть положительной)} \\ 2x + 1 < (x - 1)^2 \text{ (возведение в квадрат)} \end{cases}$

Решим систему пошагово:

1) $2x + 1 \ge 0 \implies 2x \ge -1 \implies x \ge -0.5$.

2) $x - 1 > 0 \implies x > 1$.

3) $2x + 1 < x^2 - 2x + 1 \implies 0 < x^2 - 4x \implies x(x - 4) > 0$.

Корни уравнения $x(x-4)=0$ равны $x=0$ и $x=4$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty, 0) \cup (4, \infty)$.

Теперь найдем пересечение всех трех условий:$\begin{cases} x \ge -0.5 \\ x > 1 \\ x \in (-\infty, 0) \cup (4, \infty) \end{cases}$

Объединяя первые два условия, получаем $x > 1$. Пересекая это с третьим условием, получаем $x > 4$.

Следовательно, решение неравенства: $x \in (4, \infty)$.

Ответ: $x \in (4, \infty)$.

3) $x + 2 < \sqrt{x + 14}$

Это неравенство вида $g(x) < \sqrt{f(x)}$, что эквивалентно $\sqrt{f(x)} > g(x)$. Как и в первом задании, оно решается через совокупность двух систем:

1) $\begin{cases} x + 2 < 0 \text{ (правая часть больше отрицательного числа)} \\ x + 14 \ge 0 \text{ (область определения)} \end{cases}$

2) $\begin{cases} x + 2 \ge 0 \text{ (обе части неотрицательны)} \\ (x + 2)^2 < x + 14 \text{ (возведение в квадрат)} \end{cases}$

Решим первую систему:

$\begin{cases} x < -2 \\ x \ge -14 \end{cases}$

Решением первой системы является промежуток $x \in [-14, -2)$.

Решим вторую систему:

$\begin{cases} x \ge -2 \\ x^2 + 4x + 4 < x + 14 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -2 \\ x^2 + 3x - 10 < 0 \end{cases}$

Найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 10 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -5$, $x_2 = 2$. Неравенство $x^2 + 3x - 10 < 0$ выполняется при $x \in (-5, 2)$.

Найдем пересечение решений системы: $\begin{cases} x \ge -2 \\ x \in (-5, 2) \end{cases}$.

Решением второй системы является промежуток $x \in [-2, 2)$.

Общее решение — это объединение решений двух систем:

$[-14, -2) \cup [-2, 2) = [-14, 2)$.

Ответ: $x \in [-14, 2)$.

4) $x - 3 < \sqrt{x + 27}$

Это неравенство вида $g(x) < \sqrt{f(x)}$, решается аналогично предыдущему заданию через совокупность двух систем:

1) $\begin{cases} x - 3 < 0 \\ x + 27 \ge 0 \end{cases}$

2) $\begin{cases} x - 3 \ge 0 \\ (x - 3)^2 < x + 27 \end{cases}$

Решим первую систему:

$\begin{cases} x < 3 \\ x \ge -27 \end{cases}$

Решением первой системы является промежуток $x \in [-27, 3)$.

Решим вторую систему:

$\begin{cases} x \ge 3 \\ x^2 - 6x + 9 < x + 27 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 3 \\ x^2 - 7x - 18 < 0 \end{cases}$

Найдем корни уравнения $x^2 - 7x - 18 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -2$, $x_2 = 9$. Неравенство $x^2 - 7x - 18 < 0$ выполняется при $x \in (-2, 9)$.

Найдем пересечение решений системы: $\begin{cases} x \ge 3 \\ x \in (-2, 9) \end{cases}$.

Решением второй системы является промежуток $x \in [3, 9)$.

Общее решение — это объединение решений двух систем:

$[-27, 3) \cup [3, 9) = [-27, 9)$.

Ответ: $x \in [-27, 9)$.