Номер 14.21, страница 119 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

14.21. Решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} x^2 + 5x + 6 < 0, \\ |x| > 2; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 - x - 6 < 0, \\ |x| < 3; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 2x^2 + 3x - 5 > 0, \\ |x| > 1; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 3x^2 + 5x - 8 > 0, \\ |x| \le 5. \end{cases}$

1)

Рассмотрим систему неравенств:

$\begin{cases}x^2 + 5x + 6 < 0, \\|x| > 2;\end{cases}$

Сначала решим первое неравенство: $x^2 + 5x + 6 < 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 5x + 6 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -5$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 6$.

Отсюда корни $x_1 = -3$ и $x_2 = -2$.

Парабола $y = x^2 + 5x + 6$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $x^2 + 5x + 6 < 0$ выполняется между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (-3, -2)$.

Теперь решим второе неравенство: $|x| > 2$.

Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств: $x > 2$ или $x < -2$.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $x \in (-3, -2) \cap ((-\infty, -2) \cup (2, +\infty))$.

Пересечением этих множеств является интервал $(-3, -2)$.

Ответ: $x \in (-3, -2)$.

2)

Рассмотрим систему неравенств:

$\begin{cases}x^2 - x - 6 < 0, \\|x| < 3;\end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 - x - 6 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$.

По теореме Виета, $x_1 + x_2 = 1$ и $x_1 \cdot x_2 = -6$.

Корни уравнения: $x_1 = -2$ и $x_2 = 3$.

Парабола $y = x^2 - x - 6$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (-2, 3)$.

Решим второе неравенство: $|x| < 3$.

Это неравенство равносильно двойному неравенству $-3 < x < 3$.

Решение второго неравенства: $x \in (-3, 3)$.

Найдем пересечение решений: $x \in (-2, 3) \cap (-3, 3)$.

Пересечением является интервал $(-2, 3)$.

Ответ: $x \in (-2, 3)$.

3)

Рассмотрим систему неравенств:

$\begin{cases}2x^2 + 3x - 5 > 0, \\|x| > 1;\end{cases}$

Решим первое неравенство: $2x^2 + 3x - 5 > 0$.

Найдем корни уравнения $2x^2 + 3x - 5 = 0$ через дискриминант.

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.

$x_1 = \frac{-3 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-10}{4} = -2.5$.

$x_2 = \frac{-3 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.

Парабола $y = 2x^2 + 3x - 5$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -2.5) \cup (1, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $|x| > 1$.

Это неравенство равносильно совокупности $x > 1$ или $x < -1$.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $x \in ((-\infty, -2.5) \cup (1, +\infty)) \cap ((-\infty, -1) \cup (1, +\infty))$.

Пересечением является объединение интервалов $(-\infty, -2.5)$ и $(1, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2.5) \cup (1, +\infty)$.

4)

Рассмотрим систему неравенств:

$\begin{cases}3x^2 + 5x - 8 \ge 0, \\|x| \le 5;\end{cases}$

Решим первое неравенство: $3x^2 + 5x - 8 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $3x^2 + 5x - 8 = 0$ через дискриминант.

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 25 + 96 = 121 = 11^2$.

$x_1 = \frac{-5 - 11}{2 \cdot 3} = \frac{-16}{6} = -\frac{8}{3}$.

$x_2 = \frac{-5 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$.

Парабола $y = 3x^2 + 5x - 8$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство выполняется на лучах вне интервала между корнями, включая сами корни.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -8/3] \cup [1, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $|x| \le 5$.

Это неравенство равносильно двойному неравенству $-5 \le x \le 5$.

Решение второго неравенства: $x \in [-5, 5]$.

Найдем пересечение решений: $x \in ((-\infty, -8/3] \cup [1, +\infty)) \cap [-5, 5]$.

Пересечение интервала $(-\infty, -8/3]$ с $[-5, 5]$ дает $[-5, -8/3]$.

Пересечение интервала $[1, +\infty)$ с $[-5, 5]$ дает $[1, 5]$.

Объединяя эти два отрезка, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in [-5, -8/3] \cup [1, 5]$.