Номер 14.14, страница 118 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

14.14. 1) $ \sqrt[5]{\frac{x - 3}{5 - x}} + \sqrt[5]{\frac{5 - x}{x - 3}} = 2; $

2) $ \sqrt{x + 3 - 2\sqrt{x + 2}} + \sqrt{x + 27 - 10\sqrt{x + 2}} = 4; $

3) $ \sqrt[5]{(5x + 2)^3} - \frac{16}{\sqrt[5]{(5x + 2)^3}} = 6; $

4) $ \frac{(5 - x)^{1.5} + (x - 3)^{1.5}}{\sqrt{5 - x} + \sqrt{x - 3}} = 2. $

1) $\sqrt[5]{\frac{x-3}{5-x}} + \sqrt[5]{\frac{5-x}{x-3}} = 2$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей под корнями не должны быть равны нулю, поэтому $x-3 \neq 0$ и $5-x \neq 0$. Следовательно, $x \neq 3$ и $x \neq 5$.

Введем замену. Пусть $t = \sqrt[5]{\frac{x-3}{5-x}}$.

Тогда второе слагаемое равно $\sqrt[5]{\frac{5-x}{x-3}} = \sqrt[5]{(\frac{x-3}{5-x})^{-1}} = (\sqrt[5]{\frac{x-3}{5-x}})^{-1} = \frac{1}{t}$.

Исходное уравнение принимает вид:

$t + \frac{1}{t} = 2$

Домножим обе части на $t$ (при $t \neq 0$, что выполняется, так как $x \neq 3$):

$t^2 + 1 = 2t$

$t^2 - 2t + 1 = 0$

$(t-1)^2 = 0$

$t = 1$

Вернемся к исходной переменной:

$\sqrt[5]{\frac{x-3}{5-x}} = 1$

Возведем обе части уравнения в пятую степень:

$\frac{x-3}{5-x} = 1^5$

$\frac{x-3}{5-x} = 1$

$x-3 = 5-x$

$2x = 8$

$x = 4$

Корень $x=4$ удовлетворяет ОДЗ ($4 \neq 3$ и $4 \neq 5$).

Ответ: $x = 4$.

2) $\sqrt{x+3-2\sqrt{x+2}} + \sqrt{x+27-10\sqrt{x+2}} = 4$

ОДЗ: $x+2 \geq 0 \implies x \geq -2$. Также выражения под внешними корнями должны быть неотрицательны.

Заметим, что подкоренные выражения можно преобразовать, выделив полный квадрат. Используем формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Для первого слагаемого: $x+3-2\sqrt{x+2} = (x+2) - 2\sqrt{x+2} + 1 = (\sqrt{x+2})^2 - 2\cdot\sqrt{x+2}\cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{x+2}-1)^2$.

Для второго слагаемого: $x+27-10\sqrt{x+2} = (x+2) - 10\sqrt{x+2} + 25 = (\sqrt{x+2})^2 - 2\cdot\sqrt{x+2}\cdot 5 + 5^2 = (\sqrt{x+2}-5)^2$.

Уравнение принимает вид:

$\sqrt{(\sqrt{x+2}-1)^2} + \sqrt{(\sqrt{x+2}-5)^2} = 4$

Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:

$|\sqrt{x+2}-1| + |\sqrt{x+2}-5| = 4$

Сделаем замену $t = \sqrt{x+2}$. Так как корень арифметический, то $t \geq 0$. Уравнение становится:

$|t-1| + |t-5| = 4$

Раскроем модули на трех промежутках:

а) Если $0 \le t < 1$, то $-(t-1) - (t-5) = 4 \implies 1-t+5-t=4 \implies 6-2t=4 \implies 2t=2 \implies t=1$. Этот корень не входит в интервал $0 \le t < 1$.

б) Если $1 \le t \le 5$, то $(t-1) - (t-5) = 4 \implies t-1-t+5=4 \implies 4=4$. Это верное тождество, значит, решением является весь промежуток $1 \le t \le 5$.

в) Если $t > 5$, то $(t-1) + (t-5) = 4 \implies 2t-6=4 \implies 2t=10 \implies t=5$. Этот корень не входит в интервал $t > 5$.

Итак, решением для $t$ является отрезок $1 \le t \le 5$.

Вернемся к переменной $x$:

$1 \le \sqrt{x+2} \le 5$

Так как все части неравенства неотрицательны, возведем их в квадрат:

$1^2 \le (\sqrt{x+2})^2 \le 5^2$

$1 \le x+2 \le 25$

Вычтем 2 из всех частей неравенства:

$-1 \le x \le 23$

Данный промежуток удовлетворяет исходному ОДЗ ($x \ge -2$).

Ответ: $x \in [-1; 23]$.

3) $\sqrt[5]{(5x+2)^3} - \frac{16}{\sqrt[5]{(5x+2)^3}} = 6$

ОДЗ: Знаменатель не должен быть равен нулю, значит $\sqrt[5]{(5x+2)^3} \neq 0$, откуда $5x+2 \neq 0$, то есть $x \neq -\frac{2}{5}$.

Введем замену $y = \sqrt[5]{(5x+2)^3}$. Уравнение примет вид:

$y - \frac{16}{y} = 6$

Домножим на $y$ (при $y \neq 0$):

$y^2 - 16 = 6y$

$y^2 - 6y - 16 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета или через дискриминант. Корни: $y_1 = 8$ и $y_2 = -2$.

Рассмотрим оба случая:

а) $y_1 = 8$

$\sqrt[5]{(5x+2)^3} = 8$

Возведем в 5-ю степень: $(5x+2)^3 = 8^5 = (2^3)^5 = 2^{15}$.

Извлечем кубический корень: $5x+2 = \sqrt[3]{2^{15}} = 2^5 = 32$.

$5x = 30$

$x_1 = 6$

б) $y_2 = -2$

$\sqrt[5]{(5x+2)^3} = -2$

Возведем в 5-ю степень: $(5x+2)^3 = (-2)^5 = -32$.

Извлечем кубический корень: $5x+2 = \sqrt[3]{-32} = \sqrt[3]{-8 \cdot 4} = -2\sqrt[3]{4}$.

$5x = -2 - 2\sqrt[3]{4}$

$x_2 = \frac{-2 - 2\sqrt[3]{4}}{5}$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1 = 6$, $x_2 = \frac{-2 - 2\sqrt[3]{4}}{5}$.

4) $\frac{(5-x)^{1.5} + (x-3)^{1.5}}{\sqrt{5-x} + \sqrt{x-3}} = 2$

ОДЗ: выражения под корнями и в основании степеней с дробным показателем должны быть неотрицательны:

$5-x \ge 0 \implies x \le 5$

$x-3 \ge 0 \implies x \ge 3$

Объединяя условия, получаем $3 \le x \le 5$. Знаменатель $\sqrt{5-x} + \sqrt{x-3}$ обращается в ноль только если оба слагаемых равны нулю, что невозможно. Таким образом, знаменатель не равен нулю в области ОДЗ.

Введем замены: $a = \sqrt{5-x}$ и $b = \sqrt{x-3}$.

Тогда $(5-x)^{1.5} = ((\sqrt{5-x})^2)^{1.5} = (\sqrt{5-x})^3 = a^3$.

Аналогично, $(x-3)^{1.5} = ((\sqrt{x-3})^2)^{1.5} = (\sqrt{x-3})^3 = b^3$.

Уравнение принимает вид:

$\frac{a^3 + b^3}{a+b} = 2$

Используем формулу суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$:

$\frac{(a+b)(a^2 - ab + b^2)}{a+b} = 2$

Сокращаем на $(a+b)$, так как $a+b \neq 0$ в ОДЗ.

$a^2 - ab + b^2 = 2$

Вернемся к исходным переменным:

$a^2 = (\sqrt{5-x})^2 = 5-x$

$b^2 = (\sqrt{x-3})^2 = x-3$

$ab = \sqrt{5-x}\sqrt{x-3}$

Подставим $a^2$ и $b^2$ в упрощенное уравнение:

$(5-x) - \sqrt{5-x}\sqrt{x-3} + (x-3) = 2$

$2 - \sqrt{(5-x)(x-3)} = 2$

$-\sqrt{(5-x)(x-3)} = 0$

$\sqrt{(5-x)(x-3)} = 0$

$(5-x)(x-3) = 0$

Отсюда получаем два возможных решения:

$5-x = 0 \implies x_1 = 5$

$x-3 = 0 \implies x_2 = 3$

Оба корня принадлежат ОДЗ $3 \le x \le 5$.

Ответ: $x_1 = 3, x_2 = 5$.