Номер 14.7, страница 117 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

14.7. 1) $\sqrt{x} - \sqrt{x + 3} = 1;$

2) $\sqrt{x - 5} + \sqrt{10 - x} = 3;$

3) $\sqrt{x - 9} - \sqrt{x - 16} = 1;$

4) $\sqrt{3x + 1 - 2} - \sqrt{x + 1} = 0.$

1) $\sqrt{x} - \sqrt{x + 3} = 1$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$x \ge 0$

$x + 3 \ge 0 \Rightarrow x \ge -3$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge 0$.

Проанализируем уравнение. Для любого $x$ из ОДЗ ($x \ge 0$) выполняется неравенство $x < x + 3$. Так как функция $y = \sqrt{t}$ является возрастающей, то $\sqrt{x} < \sqrt{x + 3}$.

Следовательно, разность $\sqrt{x} - \sqrt{x + 3}$ всегда будет отрицательным числом. В уравнении же эта разность равна 1 (положительному числу). Получаем противоречие.

Можно также решить уравнение алгебраически, чтобы убедиться в отсутствии корней.

Перенесем один из корней в правую часть:

$\sqrt{x} = 1 + \sqrt{x + 3}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = (1 + \sqrt{x + 3})^2$

$x = 1 + 2\sqrt{x + 3} + (x + 3)$

$x = x + 4 + 2\sqrt{x + 3}$

$0 = 4 + 2\sqrt{x + 3}$

$2\sqrt{x + 3} = -4$

$\sqrt{x + 3} = -2$

Квадратный корень не может быть равен отрицательному числу, следовательно, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

2) $\sqrt{x - 5} + \sqrt{10 - x} = 3$

Найдем ОДЗ:

$x - 5 \ge 0 \Rightarrow x \ge 5$

$10 - x \ge 0 \Rightarrow x \le 10$

ОДЗ: $5 \le x \le 10$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, так как они обе неотрицательны:

$(\sqrt{x - 5} + \sqrt{10 - x})^2 = 3^2$

$(x - 5) + 2\sqrt{(x - 5)(10 - x)} + (10 - x) = 9$

$x - 5 + 10 - x + 2\sqrt{10x - x^2 - 50 + 5x} = 9$

$5 + 2\sqrt{-x^2 + 15x - 50} = 9$

$2\sqrt{-x^2 + 15x - 50} = 4$

$\sqrt{-x^2 + 15x - 50} = 2$

Еще раз возведем в квадрат:

$-x^2 + 15x - 50 = 4$

$-x^2 + 15x - 54 = 0$

$x^2 - 15x + 54 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 15$

$x_1 \cdot x_2 = 54$

Корни: $x_1 = 6$ и $x_2 = 9$.

Оба корня принадлежат ОДЗ ($5 \le x \le 10$). Выполним проверку.

При $x = 6$: $\sqrt{6 - 5} + \sqrt{10 - 6} = \sqrt{1} + \sqrt{4} = 1 + 2 = 3$. Верно.

При $x = 9$: $\sqrt{9 - 5} + \sqrt{10 - 9} = \sqrt{4} + \sqrt{1} = 2 + 1 = 3$. Верно.

Ответ: 6; 9.

3) $\sqrt{x - 9} - \sqrt{x - 16} = 1$

Найдем ОДЗ:

$x - 9 \ge 0 \Rightarrow x \ge 9$

$x - 16 \ge 0 \Rightarrow x \ge 16$

ОДЗ: $x \ge 16$.

Перенесем один из корней в правую часть, чтобы обе части уравнения стали положительными:

$\sqrt{x - 9} = 1 + \sqrt{x - 16}$

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{x - 9})^2 = (1 + \sqrt{x - 16})^2$

$x - 9 = 1 + 2\sqrt{x - 16} + (x - 16)$

$x - 9 = x - 15 + 2\sqrt{x - 16}$

Приведем подобные слагаемые:

$-9 = -15 + 2\sqrt{x - 16}$

$6 = 2\sqrt{x - 16}$

$3 = \sqrt{x - 16}$

Возведем в квадрат еще раз:

$9 = x - 16$

$x = 9 + 16$

$x = 25$

Корень $x = 25$ удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 16$). Проверим подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{25 - 9} - \sqrt{25 - 16} = \sqrt{16} - \sqrt{9} = 4 - 3 = 1$. Верно.

Ответ: 25.

4) $\sqrt{3x + 1} - 2 - \sqrt{x + 1} = 0$

Перепишем уравнение в более удобном виде:

$\sqrt{3x + 1} - \sqrt{x + 1} = 2$

Найдем ОДЗ:

$3x + 1 \ge 0 \Rightarrow 3x \ge -1 \Rightarrow x \ge -1/3$

$x + 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1$

ОДЗ: $x \ge -1/3$.

Перенесем один корень в правую часть:

$\sqrt{3x + 1} = 2 + \sqrt{x + 1}$

Обе части неотрицательны, возводим в квадрат:

$(\sqrt{3x + 1})^2 = (2 + \sqrt{x + 1})^2$

$3x + 1 = 4 + 4\sqrt{x + 1} + (x + 1)$

$3x + 1 = x + 5 + 4\sqrt{x + 1}$

Уединим оставшийся корень:

$3x + 1 - x - 5 = 4\sqrt{x + 1}$

$2x - 4 = 4\sqrt{x + 1}$

Разделим обе части на 2:

$x - 2 = 2\sqrt{x + 1}$

Для того чтобы можно было возвести в квадрат, левая часть должна быть неотрицательной (т.к. правая неотрицательна): $x - 2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2$. Это условие более сильное, чем ОДЗ.

Возводим в квадрат при условии $x \ge 2$:

$(x - 2)^2 = (2\sqrt{x + 1})^2$

$x^2 - 4x + 4 = 4(x + 1)$

$x^2 - 4x + 4 = 4x + 4$

$x^2 - 8x = 0$

$x(x - 8) = 0$

Получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 8$.

Проверяем их по условию $x \ge 2$:

$x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $x \ge 2$, это посторонний корень.

$x_2 = 8$ удовлетворяет условию $x \ge 2$.

Проверим корень $x=8$ подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{3 \cdot 8 + 1} - 2 - \sqrt{8 + 1} = \sqrt{25} - 2 - \sqrt{9} = 5 - 2 - 3 = 0$. Верно.

Ответ: 8.